北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
10回目に初めて終了するには、9回目までの合計が10未満でなければならない。9回の出目の合計の最小値は $1+1+\cdots +1=9$ である。したがって9回目までの合計が10未満であるためには、9回すべてで1が出るしかない。この場合、10回目はどの目が出ても合計が10以上になって終了する。よって $$p_{10}={\left(\frac{1}{6}\right)}^9$$ である。

(2)
9回目に終了するには、8回目までの合計が10未満で、9回目の出目を加えると10以上になればよい。8回の出目の合計の最小値は8なので、8回目までの合計は $8$ または $9$ の場合だけを考えればよい。

合計が $8$ となるのは8回すべて1が出る1通りである。この場合、9回目の出目は $2,3,4,5,6$ の5通りで終了する。合計が $9$ となるのは、8回のうち1回だけ2が出て残りが1である場合で、8通りである。この場合、9回目の出目は何でもよいので6通りである。したがって有利な出方は $1\cdot 5+8\cdot 6=53$ 通りであり、全体は $6^9$ 通りだから $$p_9=\frac{53}{6^9}$$ である。

(3)
2回目までの合計を $s$、3回目の出目を $t$ とする。3回目に初めて終了するには $$s<10,s+t\geqq 10,1\leqq t\leqq 6$$ である。2個のさいころの和が $s$ となる出方の数は、$s=4,5,6,7,8,9$ に対して $3,4,5,6,5,4$ である。$s=2,3$ では3回目に6が出ても10に届かないので寄与しない。

また、3回目の出目の選び方は、$s=4,5,6,7,8,9$ に対してそれぞれ $1,2,3,4,5,6$ 通りである。よって有利な出方は $$3\cdot 1+4\cdot 2+5\cdot 3+6\cdot 4+5\cdot 5+4\cdot 6=99$$ 通りである。全体は $6^3=216$ 通りだから $$p_3=\frac{99}{216}=\frac{11}{24}$$ である。

途中の合計を状態として数える。終了時刻が遅い問1・問2では最小和からの超過量を数え、問3では2回目までの和ごとの出方と最後に終了させる目の個数を表にまとめる。

(問1)

9回投げた時点で合計が10未満となるには、9個の出目がすべて1でなければならない。その確率は$${\left(\frac{1}{6}\right)}^9\mathrm{.}$$この状態では10回目の目によらず終了するので$$p_{10}={\left(\frac{1}{6}\right)}^9\mathrm{.}$$(問2)

8回目までの和を $S_8$ とする。終了していないためには $S_8=8,9$ だけが可能である。$$\begin{array}{cccc}{S}_8& 8\text{回の出方}& 9\text{回目の目}& \text{有利な列数}\\ 8& 1& 2,3,4,5,6& 5\\ 9& 8& 1,2,3,4,5,6& 48\end{array}$$したがって$$p_9=\frac{5+48}{6^9}=\frac{53}{6^9}\mathrm{.}$$(問3)

2回目までの和を $s$ とする。和が $s$ となる順序つきの出方の数と、3回目に終了させる目の個数は次のとおりである。$$\begin{array}{ccccccc}s& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 2\text{回の出方}& 3& 4& 5& 6& 5& 4\\ \text{最後の目}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\end{array}$$よって有利な列数は$$3+8+15+24+25+24=99.$$したがって$$p_3=\frac{99}{6^3}=\frac{11}{24}\mathrm{.}$$