北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OP}=\vec{p},\overrightarrow{OQ}=\vec{q}$$とおく。

(1)

$OP\perp OA$，$OQ\perp OB$ より $$\vec{p}\cdot \vec{a}=0,\vec{q}\cdot \vec{b}=0$$ である。また $\vec{p}+\vec{q}$ は $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ に垂直なので $$(\vec{p}+\vec{q})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$$ である。展開すると$$\vec{p}\cdot \vec{b}-\vec{p}\cdot \vec{a}+\vec{q}\cdot \vec{b}-\vec{q}\cdot \vec{a}=0$$であり、上の2つの垂直条件を用いて $$\vec{p}\cdot \vec{b}-\vec{q}\cdot \vec{a}=0$$ となる。したがって$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OA}$$である。

(2)

$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=A$，$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=B$ とし、座標軸を $$\vec{a}=A(1,0),\vec{b}=B(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$ となるように取る。$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ である。

$\vec{p}\perp \vec{a}$ だから、ある $u\mathrm{\ne }0$ を用いて $\vec{p}=(0,u)$ と書ける。また $\vec{q}\perp \vec{b}$ だから、ある $v\mathrm{\ne }0$ を用いて $$\vec{q}=v(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$$ と書ける。(1)をこの座標で表すと $$\vec{p}\cdot \vec{b}=uB\sin \alpha ,\vec{q}\cdot \vec{a}=-vA\sin \alpha$$ であるから $$uB\sin \alpha =-vA\sin \alpha$$ となる。$A,B>0$，$\sin \alpha >0$ より、$u$ と $v$ は反対符号である。

したがって、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ は、それぞれ $OA,OB$ に立てた垂線の反対側を向く。たとえば $u>0$ のとき、$\vec{p}$ の方向角は $\pi \mathrm{/}2$、$\vec{q}$ の方向角は $\alpha -\pi \mathrm{/}2$ であるから、なす角は $$\frac{\pi }{2}-(\alpha -\frac{\pi }{2})=\pi -\alpha$$ である。$u<0$ のときは両方の向きが同時に反転するだけなので、なす角は同じである。よって $\text{なす角は }\pi -\alpha$ である。

(3)

(2) の記号を用いると $$\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$$ である。また $uB=-vA$ だから、絶対値を取って $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }B=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }A$ を得る。したがって $$\frac{\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }}{A}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }}{B}$$ すなわち$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }}=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }}$$である。

(1) は4つの垂直条件を内積へ直す。(2)(3) は平面ベクトルを反時計回りに90度回転する操作を $J$ とし、$\vec{p}=\lambda J\vec{a}$、$\vec{q}=\mu J\vec{b}$ と表す。(1)から $\mu =-\lambda$ を導けば、角と長さ比が回転の性質から同時に読める。

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$、$$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$、$$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$$、$$\overrightarrow{OQ}=\vec{q}$$ とおく。

(1) 条件より$$\vec{p}\cdot \vec{a}=0,\vec{q}\cdot \vec{b}=0,(\vec{p}+\vec{q})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=0.$$第3式を展開して最初の2式を用いると$$\vec{p}\cdot \vec{b}=\vec{q}\cdot \vec{a}$$を得る。

(2) ベクトルを反時計回りに90度回転する操作を $J$ とする。$\vec{p}\perp \vec{a}$、$\vec{q}\perp \vec{b}$ だから、0でない実数 $\lambda ,\mu$ を用いて$$\vec{p}=\lambda J\vec{a},\vec{q}=\mu J\vec{b}$$と書ける。90度回転したベクトルとの内積について$$(J\vec{b})\cdot \vec{a}=-(J\vec{a})\cdot \vec{b}$$であるから、(1) は$$\lambda (J\vec{a})\cdot \vec{b}=-\mu (J\vec{a})\cdot \vec{b}$$となる。$O,A,B$ は一直線上にないので $(J\vec{a})\cdot \vec{b}\mathrm{\ne }0$。よって $\mu =-\lambda$ である。したがって$$\vec{p}=\lambda J\vec{a},\vec{q}=-\lambda J\vec{b}\mathrm{.}$$同じ向きへ90度回転しても角は変わらず、一方だけ向きを反転すると角 $\alpha$ は $\pi -\alpha$ になる。ゆえに $\vec{p},\vec{q}$ のなす角は $\pi -\alpha$ である。

(3) 回転は長さを変えないので$$\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }}=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }}=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$