北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
ひきだしAの3枚は，それぞれ金・銀・銅の3通りから選ばれるので，全事象は $3^3=27$ 通りである。色がちょうど2種類であるには，まず使う2色を選び，その2色がどちらも現れるように3枚へ割り当てればよい。したがって有利な場合の数は $${}_3{\mathrm{C}}_2(2^3-2)=3\cdot 6=18$$ である。よって確率は $$\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$$ である。

(2)
全事象は $3^3\cdot 2^2=108$ 通りである。全体でちょうど2種類の色が現れる場合を，現れる色の組で分ける。

金・銀だけが現れる場合は，5枚全体で両方の色が現れればよいので$$2^5-2=30$$通りである。

金・銅だけが現れる場合，Bの2枚はともに金である。Aの3枚には銅が少なくとも1枚あればよいので$$2^3-1=7$$通りである。銀・銅だけの場合も同様に7通りである。

したがって有利な場合の数は$$30+7+7=44$$であり，求める確率は$$\frac{44}{108}=\frac{11}{27}$$である。

(3)
金メダルが合計3枚であるという条件のもとで数える。Aに含まれる金メダルの枚数を$r$とすると，Bには$3-r$枚の金メダルが入る。Bは2枚しかないので $r=1,2,3$ だけを考えればよい。 $r=1$のとき，Aの金の位置は3通り，残り2枚は銀または銅でそれぞれ2通り，Bは2枚とも金である。したがって12通りである。このうちAの色がちょうど2種類になるのは，Aの残り2枚が同じ色の場合であり $3\cdot 2=6$ 通りである。 $r=2$のとき，Aの金の位置は3通り，残り1枚は銀または銅の2通り，Bの金の位置は2通りである。したがって12通りであり，この場合Aは必ず金ともう1色のちょうど2種類なので，有利数も12通りである。 $r=3$のときはAの3枚がすべて金，Bは2枚とも銀であり，1通りである。この場合Aの色は1種類なので有利ではない。

条件を満たす全体の数は $12+12+1=25$ で，有利な数は $6+12=18$ である。したがって求める条件付き確率は $\frac{18}{25}$ である。

(1) は1色だけと3色すべてを余事象として除き，(2)は3色すべて現れる配置を包除原理で求めてから1色だけも除く。(3)は各メダルについて「金なら$X$，金以外なら定数項」とする多項式を実際に展開し，$X^3$の係数として条件事象25通りを確認する。そのうえでAの金が1枚・2枚の場合の有利数を直接数え，条件付き確率を得る。

(1)
Aが1色だけの配置は$3$通り，3色すべての配置は$3!=6$通りである。したがって2色ちょうどの配置は$$3^3-3-6=18$$通りで，確率は$$\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$$である。

(2)
全配置は$3^3\cdot 2^2=108$通りである。3色すべてが現れない配置を包除原理で数える。「銅なし」は$32$通り，「金なし」「銀なし」は各$8$通りであり，重複する「銀だけ」「金だけ」を各1通り戻す。よって3色すべてが現れる配置は$$108-(32+8+8)+(1+1)=62$$通りである。1色だけは金だけ・銀だけの2通りだから，2色ちょうどは$$108-62-2=44$$通りである。したがって確率は$$\frac{44}{108}=\frac{11}{27}$$である。

(3)
Aの各メダルでは金以外が2色，Bの各メダルでは金以外が銀だけなので，金の枚数を$X$の指数で表すと，条件事象の総数は$$(2+X{)}^3(1+X{)}^2$$の$X^3$の係数である。実際，$$(2+X{)}^3=8+12X+6X^2+X^3,(1+X{)}^2=1+2X+X^2$$だから，$X^3$の係数は$$12\cdot 1+6\cdot 2+1\cdot 1=25$$である。Aの金が1枚なら，残る2枚が同色のときだけAは2色となり$6$通りである。Aの金が2枚なら，残り1枚は銀・銅の2択，Bの金の位置は2択なので$12$通りである。よって有利数は$18$通りで，$$\frac{18}{25}$$である。