問題
机のひきだしAに3枚のメダル，ひきだしBに2枚のメダルが入っている。ひきだしAの各メダルの色は金，銀，銅のどれかであり，ひきだしBの各メダルの色は金，銀のどちらかである。
(1) ひきだしAのメダルの色が2種類である確率を求めよ。
(2) ひきだしA，Bをあわせたメダルの色が2種類である確率を求めよ。
(3) ひきだしA，Bをあわせてちょうど3枚の金メダルが入っていることがわかっているとき，ひきだしAのメダルの色が2種類である確率を求めよ。
方針
解法1
各メダルの色の割り当てを等確率として数える。(1)はAの3枚が3色中ちょうど2色を使う場合を数える。(2)は5枚全体で使われる色の集合が，，の3通りに分ける。(3)は金メダルが合計3枚という条件のもとで，Aに含まれる金の枚数ごとに条件付きの総数と有利数を数える。
解法2
(1)は補集合、(2)は3色すべて現れる場合の包除原理で数える。(3)は金の枚数を表す多項式の係数で条件事象25通りを確認し、有利な配置だけを分類する。
解答
解法1
(1)
ひきだしAの3枚は，それぞれ金・銀・銅の3通りから選ばれるので，全事象は 通りである。色がちょうど2種類であるには，まず使う2色を選び，その2色がどちらも現れるように3枚へ割り当てればよい。したがって有利な場合の数は である。よって確率は である。
(2)
全事象は 通りである。全体でちょうど2種類の色が現れる場合を，現れる色の組で分ける。
金・銀だけが現れる場合は，5枚全体で両方の色が現れればよいので
通りである。
金・銅だけが現れる場合，Bの2枚はともに金である。Aの3枚には銅が少なくとも1枚あればよいので
通りである。銀・銅だけの場合も同様に7通りである。
したがって有利な場合の数は
であり，求める確率は
である。
(3)
金メダルが合計3枚であるという条件のもとで数える。Aに含まれる金メダルの枚数をとすると，Bには枚の金メダルが入る。Bは2枚しかないので だけを考えればよい。 のとき，Aの金の位置は3通り，残り2枚は銀または銅でそれぞれ2通り，Bは2枚とも金である。したがって12通りである。このうちAの色がちょうど2種類になるのは，Aの残り2枚が同じ色の場合であり 通りである。 のとき，Aの金の位置は3通り，残り1枚は銀または銅の2通り，Bの金の位置は2通りである。したがって12通りであり，この場合Aは必ず金ともう1色のちょうど2種類なので，有利数も12通りである。 のときはAの3枚がすべて金，Bは2枚とも銀であり，1通りである。この場合Aの色は1種類なので有利ではない。
条件を満たす全体の数は で，有利な数は である。したがって求める条件付き確率は である。
解法2
(1)
Aが1色だけの配置は通り，3色すべての配置は通りである。したがって2色ちょうどの配置は
通りで，確率は
である。
(2)
全配置は通りである。3色すべてが現れない配置を包除原理で数える。「銅なし」は通り，「金なし」「銀なし」は各通りであり，重複する「銀だけ」「金だけ」を各1通り戻す。よって3色すべてが現れる配置は
通りである。1色だけは金だけ・銀だけの2通りだから，2色ちょうどは
通りである。したがって確率は
である。
(3)
金の枚数をの指数で表すと，条件事象の総数は
のの係数であり，
通りである。Aの金が1枚なら，残る2枚が同色のときだけAは2色となり通りである。Aの金が2枚なら，残り1枚は銀・銅の2択，Bの金の位置は2択なので通りである。よって有利数は通りで，
である。