北海道大学 2016年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$a > 0$ に対し，関数 $f (x)$ が

f (x) = \int_{- a}^{a} {\frac{e ^{- x}}{2 a} + f (t) sin t} d t

をみたすとする。

(1) $f (x)$ を求めよ。

(2) $0 < a ≦ 2 π$ において，

g (a) = \int_{- a}^{a} f (t) sin t d t

の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1

積分方程式の右辺では $x$ に依存する部分が $e^{- x}$ だけなので， $g (a) = \int_{- a}^{a} f (t) sin t d t$ とおくと $f (x) = e^{- x} + g (a)$ になる。これを定義式へ戻すと $g (a) = \int_{- a}^{a} e^{- t} sin t d t$ で決まる。(2)は得られた $g (a) = {(e^{a} - e^{- a}) cos a - (e^{a} + e^{- a}) sin a} /2$ を微分し， $g^{'} (a) = - (e^{a} - e^{- a}) sin a$ の符号から $0 < a ≦ 2 π$ での増減を調べる。

解法2

未知関数を含む積分を定数 $g (a)$ として分離する。最小化では $g (a)$ を先に閉じた式へ展開せず、積分の両端の変化から導関数を直接求める。

解答

解法1

(1)

$g (a) = \int_{- a}^{a} f (t) sin t d t$ とおく。問題の式では，右辺の積分の中で $x$ に依存するのは $e^{- x} / (2 a)$ だけであるから $f (x) = \int_{- a}^{a} \frac{e ^{- x}}{2 a} d t + \int_{- a}^{a} f (t) sin t d t$ である。第1項は $\int_{- a}^{a} \frac{e ^{- x}}{2 a} d t = e^{- x}$ なので $f (x) = e^{- x} + g (a)$ である。

これを $g (a)$ の定義に代入すると $g (a) = \int_{- a}^{a} {e^{- t} + g (a)} sin t d t$ である。 $sin t$ は奇関数なので $\int_{- a}^{a} g (a) sin t d t = 0$ である。したがって $g (a) = \int_{- a}^{a} e^{- t} sin t d t$ である。ここで $\int e^{- t} sin t d t = - \frac{e ^{- t} ( s i n t + c o s t )}{2}$ だから

g (a) = [- \frac{e ^{- t} ( sin t + cos t )}{2}]_{- a}^{a} = \frac{( e ^{a} - e ^{- a} ) cos a - ( e ^{a} + e ^{- a} ) sin a}{2}

である。よって $f (x) = e^{- x} + \frac{( e ^{a} - e ^{- a} ) c o s a - ( e ^{a} + e ^{- a} ) s i n a}{2}$ である。

(2)

(1)で得た $g (a) = \frac{( e ^{a} - e ^{- a} ) c o s a - ( e ^{a} + e ^{- a} ) s i n a}{2}$ を $0 < a ≦ 2 π$ で最小にする。微分すると

g^{'} (a) = \frac{( e ^{a} + e ^{- a} ) cos a - ( e ^{a} - e ^{- a} ) sin a}{2} - \frac{( e ^{a} - e ^{- a} ) sin a + ( e ^{a} + e ^{- a} ) cos a}{2} = - (e^{a} - e^{- a}) sin a

である。 $a > 0$ では $e^{a} - e^{- a} > 0$ なので， $g^{'} (a)$ の符号は $- sin a$ の符号で決まる。

したがって $g (a)$ は $(0, π)$ で減少し， $(π, 2 π)$ で増加する。よって最小となるのは $a = π$ のときであり，最小値は

g (π) = \frac{( e ^{π} - e ^{- π} ) cos π - ( e ^{π} + e ^{- π} ) sin π}{2} = - \frac{e ^{π} - e ^{- π}}{2}

である。

解法2

(1)

g (a) = \int_{- a}^{a} f (t) sin t d t

とおくと，問題の式から

f (x) = e^{- x} + g (a)

である。これを $g (a)$ へ代入すると，対称区間上で $sin t$ の積分が $0$ になるため

g (a) = \int_{- a}^{a} e^{- t} sin t d t .

よって

g (a) = \frac{( e ^{a} - e ^{- a} ) cos a - ( e ^{a} + e ^{- a} ) sin a}{2}

であり，

f (x) = e^{- x} + g (a)

となる。

(2)

$h (t) = e^{- t} sin t$ とおく。積分区間の両端の変化を考えると

g^{'} (a) = h (a) + h (- a) = - (e^{a} - e^{- a}) sin a .

$a > 0$ では $e^{a} - e^{- a} > 0$ だから， $g$ は $(0, π)$ で減少し， $(π, 2 π)$ で増加する。したがって最小は $a = π$ で，

g (π) = - \frac{e ^{π} - e ^{- π}}{2}

である。

北海道大学 2016年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

北海道大学 2016年度
理系数学前期第2問