北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$g(a)={\int }_{-a}^{a}f(t)\sin tdt$$ とおく。問題の式では，右辺の積分の中で$x$に依存するのは$e^{-x}\mathrm{/}(2a)$だけであるから $$f(x)={\int }_{-a}^a\frac{e^{-x}}{2a}dt+{\int }_{-a}^{a}f(t)\sin tdt$$ である。第1項は $${\int }_{-a}^a\frac{e^{-x}}{2a}dt=e^{-x}$$ なので $f(x)=e^{-x}+g(a)$ である。

これを$g(a)$の定義に代入すると $$g(a)={\int }_{-a}^a\{e^{-t}+g(a)\}\sin tdt$$ である。$\sin t$は奇関数なので $${\int }_{-a}^{a}g(a)\sin tdt=0$$ である。したがって $$g(a)={\int }_{-a}^a{e}^{-t}\sin tdt$$ である。ここで $$\int e^{-t}\sin tdt=-\frac{e^{-t}(\sin t+\cos t)}{2}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(a)}& {\displaystyle ={[-\frac{e^{-t}(\sin t+\cos t)}{2}]}_{-a}^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(e^a-e^{-a})\cos a-(e^a+e^{-a})\sin a}{2}}\end{array}$$である。よって $$f(x)=e^{-x}+\frac{(e^a-e^{-a})\cos a-(e^a+e^{-a})\sin a}{2}$$ である。

(2)
(1)で得た $$g(a)=\frac{(e^a-e^{-a})\cos a-(e^a+e^{-a})\sin a}{2}$$ を$0<a\leqq 2\pi$で最小にする。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =\frac{(e^a+e^{-a})\cos a-(e^a-e^{-a})\sin a}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\frac{(e^a-e^{-a})\sin a+(e^a+e^{-a})\cos a}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(e^a-e^{-a})\sin a}\end{array}$$である。$a>0$では$e^a-e^{-a}>0$なので，$g^{\mathrm{\prime }}(a)$の符号は$-\sin a$の符号で決まる。

したがって$g(a)$は$(0,\pi )$で減少し，$(\pi ,2\pi )$で増加する。よって最小となるのは $a=\pi$ のときであり，最小値は$$g(\pi )=\frac{(e^{\pi }-e^{-\pi })\cos \pi -(e^{\pi }+e^{-\pi })\sin \pi }{2}=-\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{2}$$である。

未知関数を含む定積分を$x$によらない定数$g(a)$として分離し，$f(x)=e^{-x}+g(a)$を得て定義へ戻す。対称区間と$\sin t$の奇関数性から$g(a)$だけの項を消す。(2)では閉じた式を先に微分せず，$h(t)=e^{-t}\sin t$として積分区間の両端が動くときの変化から$g^{\mathrm{\prime }}(a)=h(a)+h(-a)$を求め，符号と端点を調べる。

(1) $$g(a)={\int }_{-a}^{a}f(t)\sin tdt$$とおくと，問題の式から$$f(x)=e^{-x}+g(a)$$である。これを$g(a)$へ代入すると，対称区間上で$\sin t$の積分が$0$になるため$$g(a)={\int }_{-a}^a{e}^{-t}\sin tdt\mathrm{.}$$よって$$g(a)=\frac{(e^a-e^{-a})\cos a-(e^a+e^{-a})\sin a}{2}$$であり，$$f(x)=e^{-x}+g(a)$$となる。

(2)
$h(t)=e^{-t}\sin t$とおく。積分区間の両端の変化を考えると$$g^{\mathrm{\prime }}(a)=h(a)+h(-a)=-(e^a-e^{-a})\sin a\mathrm{.}$$$a>0$では$e^a-e^{-a}>0$だから，$g$は$(0,\pi )$で減少し，$(\pi ,2\pi )$で増加する。したがって最小は$a=\pi$で，$$g(\pi )=-\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{2}$$である。