北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
直線$l$は $(0,r,2+r)$ と表せる。方向ベクトルは$(0,1,1)$である。$Q=(0,r,2+r)$が$P(s,t,a)$から$l$に下ろした垂線の足であるためには $$\overrightarrow{QP}=(s,t-r,a-2-r)$$ が$(0,1,1)$と垂直であればよい。したがって $(t-r)+(a-2-r)=0$ であり $$r=\frac{t+a-2}{2}$$ である。よって $$Q=(0,\frac{t+a-2}{2},\frac{t+a+2}{2})$$ である。

直線$m$は $(1,0,u)$ と表せ，方向ベクトルは$(0,0,1)$である。$R=(1,0,u)$が垂線の足であるためには $$(s-1,t,a-u)\cdot (0,0,1)=0$$ であればよいから$u=a$である。したがって $R=(1,0,a)$ である。

(2)
中心$P$の球面が$l$と$m$の両方に接するための必要十分条件は，$P$から$l$までの距離と，$P$から$m$までの距離が等しいことである。問題の仮定より$P$はどちらの直線上にもないので，共通の距離は正であり，これを半径とする球面が定まる。したがって条件は$P{Q}^2=P{R}^2$である。

(1) の結果から$$P{Q}^2=s^2+{\left(\frac{t-a+2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a-t-2}{2}\right)}^2=s^2+\frac{(t-a+2{)}^2}{2}$$である。また $P{R}^2=(s-1{)}^2+t^2$ である。したがって条件は $$s^2+\frac{(t-a+2{)}^2}{2}=(s-1{)}^2+t^2$$ である。整理すると $$a^2-2at-4a+4s-t^2+4t+2=0$$ である。

(3)
(2)の式を$s,t$について整理する。 $4s=t^2+2(a-2)t-a^2+4a-2$ である。ここで左辺に移すために平方完成すると $$4\{s+\frac{(a-1)(a-3)}{2}\}=(t+a-2{)}^2$$ である。 $$X=s+\frac{(a-1)(a-3)}{2},Y=t+a-2$$ とおくと $Y^2=4X$ である。これは$X$軸の正の向きに開く放物線であり，焦点は$(X,Y)=(1,0)$，準線は$X=-1$である。元の$(s,t)$座標に戻すと，焦点は $(1-\frac{(a-1)(a-3)}{2},2-a)$ であり，準線は $$s=-1-\frac{(a-1)(a-3)}{2}$$ である。したがって点$(s,t)$の軌跡は放物線である。

(1) は方向ベクトルへの正射影を用いて垂線の足を求める。(2)では直線$l$の方向に垂直な2方向$(1,0,0)$と$(0,-1,1)$，直線$m$の方向に垂直な2方向$(1,0,0)$と$(0,1,0)$へずれを分解し，外積を使わずに2直線までの距離を独立に求める。得られた距離の二乗を等置し，(3)で平方完成して放物線の標準形へ直し，焦点と準線を元の座標へ戻す。

(1)
直線$l$の方向ベクトルを$d=(0,1,1)$とする。点$A=(0,0,2)$を通るので，正射影から$$Q=A+\frac{(P-A)\cdot d}{d\cdot d}d=(0,\frac{t+a-2}{2},\frac{t+a+2}{2})$$を得る。直線$m$は点$C=(1,0,0)$を通り，方向ベクトルが$e=(0,0,1)$だから$$R=C+\frac{(P-C)\cdot e}{e\cdot e}e=(1,0,a)$$である。

(2)
直線$l$に垂直なベクトルとして$p=(1,0,0)$，$q=(0,-1,1)$をとる。これらは互いに垂直で，$\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }=1$，$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$である。$$\overrightarrow{AP}=(s,t,a-2)$$の$p,q$方向の成分の長さはそれぞれ$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$，$\mathrm{\mid }a-t-2\mathrm{\mid }\mathrm{/}\sqrt{2}$だから，三平方の定理より$$d(P,l{)}^2=s^2+\frac{(t-a+2{)}^2}{2}$$である。一方，直線$m$は$z$軸に平行なので，$$\overrightarrow{CP}=(s-1,t,a)$$のうち直線に垂直な成分は$(s-1,t,0)$である。したがって$$d(P,m{)}^2=(s-1{)}^2+t^2$$となる。両直線に接する球面が存在するための必要十分条件は，中心$P$から両直線までの距離が等しいことである。問題の仮定より$P$は両直線上にないので，共通の距離は正であり，これを半径にできる。二乗を等置して展開すると$$a^2-2at-4a+4s-t^2+4t+2=0$$を得る。

(3)
(2)の式を$s,t$について平方完成すると$$(t+a-2{)}^2=4\{s+\frac{(a-1)(a-3)}{2}\}$$である。$${\displaystyle X=s+\frac{(a-1)(a-3)}{2}}$$，$Y=t+a-2$とおけば$Y^2=4X$となる。よって軌跡は右向きの放物線で，焦点は$$(1-\frac{(a-1)(a-3)}{2},2-a)$$準線は$$s=-1-\frac{(a-1)(a-3)}{2}$$である。