北海道大学 2017年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

自然数の2乗となる数を平方数という。

(問1) 自然数 $a, n, k$ に対して

n (n + 1) + a = (n + k)^{2}

が成り立つとき

a ≧ k^{2} + 2 k - 1

が成り立つことを示せ。

(問2) $n (n + 1) + 14$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

出典：北海道大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

解法1

平方数を $(n + k)^{2}$ と表し、 $a = (2 k - 1) n + k^{2}$ を得る。 $n ≧ 1$ 、 $k ≧ 1$ から下限 $k^{2} + 2 k - 1$ を示す。(2) では $a = 14$ として $k = 1, 2, 3$ だけを調べ、自然数 $n$ が出る候補だけを残す。

解法2

平方根を $m$ として差 $k = m - n$ を導入し、 $n = (14 - k^{2}) / (2 k - 1)$ を得る。分子が正となる範囲で $k$ を絞り、自然数になるものだけを残す。

解答

解法1

(1)

$n (n + 1) + a = (n + k)^{2}$ より $a = (n + k)^{2} - n (n + 1) = (2 k - 1) n + k^{2}$ である。 $k$ は自然数なので $2 k - 1 > 0$ 、また $n ≧ 1$ である。したがって $a = (2 k - 1) n + k^{2} ≧ (2 k - 1) + k^{2} = k^{2} + 2 k - 1$ が成り立つ。

(2)

$n (n + 1) + 14$ が平方数であるとする。平方根は $n$ より大きい自然数なので、ある自然数 $k$ により $n (n + 1) + 14 = (n + k)^{2}$ と書ける。(1) より $14 ≧ k^{2} + 2 k - 1$ である。 $k = 1, 2, 3, 4$ で右辺はそれぞれ $2, 7, 14, 23$ なので、可能性は $k = 1, 2, 3$ である。

また $14 = (2 k - 1) n + k^{2}$ である。 $k = 1$ では $14 = n + 1$ より $n = 13$ 。 $k = 2$ では $14 = 3 n + 4$ より $n = 10/3$ であり自然数でない。 $k = 3$ では $14 = 5 n + 9$ より $n = 1$ である。したがって求める自然数は $n = 1, 13$ である。

解法2

(問1)

与式を整理すると

a = (2 k - 1) n + k^{2} .

$n, k ≧ 1$ より

(2 k - 1) n ≧ 2 k - 1

なので

a ≧ k^{2} + 2 k - 1.

(問2)

平方根は $n$ より大きいから、ある自然数 $k$ により

n (n + 1) + 14 = (n + k)^{2}

と書ける。よって

n = \frac{14 - k ^{2}}{2 k - 1} .

$n > 0$ より $k^{2} < 14$ であるから $k = 1, 2, 3$ を調べる。

k 123 n 13 10/3 1

自然数となるのは $k = 1, 3$ の場合であり、どちらも元の式を満たす。したがって

n = 1, 13.

北海道大学 2017年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(問1)

(問2)

北海道大学 2017年度
理系数学前期第1問