北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $n(n+1)+a=(n+k{)}^2$ より $$a=(n+k{)}^2-n(n+1)=(2k-1)n+k^2$$ である。$k$ は自然数なので $2k-1>0$、また $n\geqq 1$ である。したがって $$a=(2k-1)n+k^2\geqq (2k-1)+k^2=k^2+2k-1$$ が成り立つ。

(2) $n(n+1)+14$ が平方数であるとする。平方根は $n$ より大きい自然数なので、ある自然数 $k$ により $n(n+1)+14=(n+k{)}^2$ と書ける。(1) より $14\geqq k^2+2k-1$ である。$k=1,2,3,4$ で右辺はそれぞれ $2,7,14,23$ なので、可能性は $k=1,2,3$ である。

また $14=(2k-1)n+k^2$ である。$k=1$ では $14=n+1$ より $n=13$。$k=2$ では $14=3n+4$ より $n=10\mathrm{/}3$ であり自然数でない。$k=3$ では $14=5n+9$ より $n=1$ である。したがって求める自然数は $n=1,13$ である。

平方根を $m$ として差 $k=m-n$ を導入し、$n=(14-k^2)\mathrm{/}(2k-1)$ を得る。分子が正となる範囲で $k$ を絞り、自然数になるものだけを残す。

(問1)

与式を整理すると$$a=(2k-1)n+k^2\mathrm{.}$$$n,k\geqq 1$ より$$(2k-1)n\geqq 2k-1$$なので$$a\geqq k^2+2k-1.$$(問2)

平方根は $n$ より大きいから、ある自然数 $k$ により$$n(n+1)+14=(n+k{)}^2$$と書ける。よって$$n=\frac{14-k^2}{2k-1}\mathrm{.}$$$n>0$ より $k^2<14$ であるから $k=1,2,3$ を調べる。$$\begin{array}{cc}k& n\\ 1& 13\\ 2& 10\mathrm{/}3\\ 3& 1\end{array}$$自然数となるのは $k=1,3$ の場合であり、どちらも元の式を満たす。したがって$$n=1,13.$$