北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $f(x)=1+\sin x-x\cos x$ であるから、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x$$ である。$0<x<\pi$ では $x>0$ かつ $\sin x>0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$\pi <x<2\pi$ では $\sin x<0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $f(x)$ は $[0,\pi ]$ で増加し、$[\pi ,2\pi ]$ で減少する。

端点と山の値は $$f(0)=1,f(\pi )=1+\pi ,f(2\pi )=1-2\pi$$ である。よって最大値は $1+\pi$ 最小値は $1-2\pi$ である。

(2)
部分積分を用いると $$\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x$$ である。したがって$$\int f(x)dx=\int (1+\sin x-x\cos x)dx=x-\cos x-(x\sin x+\cos x)+C$$より $$\int f(x)dx=x-x\sin x-2\cos x+C$$ である。

(3)
(1) より $[0,\pi ]$ では $f(x)\geqq f(0)=1>0$ である。また $[\pi ,2\pi ]$ では単調減少し、$$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=1-1-\frac{3\pi }{2}\cdot 0=0$$ である。したがって $f(x)\geqq 0$ は $0\leqq x\leqq 3\pi \mathrm{/}2$、$f(x)\leqq 0$ は $3\pi \mathrm{/}2\leqq x\leqq 2\pi$ で成り立つ。 $F(x)=x-x\sin x-2\cos x$ とおくと、(2) より $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ である。値を計算すると$$F(0)=-2,F\left(\frac{3\pi }{2}\right)=3\pi ,F(2\pi )=2\pi -2$$である。よって$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx={\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}f(x)dx-{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }f(x)dx$$ $$=\{3\pi -(-2)\}-\{(2\pi -2)-3\pi \}=4\pi +4$$ である。

導関数 $x\sin x$ の符号表で零点の位置まで確定する。不定積分は $x\sin x+2\cos x$ の微分を逆向きに読む。絶対値積分は符号付き全積分から負の部分を2回差し引く。

(問1)$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\sin x\mathrm{.}$$したがって $f$ は $[0,\pi ]$ で増加し、$[\pi ,2\pi ]$ で減少する。値は$$f(0)=1,f(\pi )=1+\pi ,f(2\pi )=1-2\pi \mathrm{.}$$よって最大値は $1+\pi$、最小値は $1-2\pi$ である。

(問2)$$\frac{d}{dx}\{x\sin x+2\cos x\}=x\cos x-\sin x$$であるから$$\int f(x)dx=x-x\sin x-2\cos x+C\mathrm{.}$$(問3)

$[0,\pi ]$ では $f>0$ であり、$[\pi ,2\pi ]$ では単調減少する。さらに$$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=0$$なので、負となるのは $3\pi \mathrm{/}2<x\leqq 2\pi$ だけである。原始関数を$$F(x)=x-x\sin x-2\cos x$$とおくと$$F(0)=-2,F\left(\frac{3\pi }{2}\right)=3\pi ,F(2\pi )=2\pi -2.$$符号付き全積分は$${\int }_0^{2\pi }f(x)dx=2\pi$$であり、負の部分の積分は$${\int }_{3\pi \mathrm{/}2}^{2\pi }f(x)dx=-\pi -2.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle =2\pi -2(-\pi -2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi +4.}\end{array}$$