北海道大学 2017年度
理系数学 前期 第2問

解答

解法1

(1)

$f(x)=1+\sin x-x\cos x$ であるから、$f^{\prime }(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x$ である。$0<x<\pi$ では $x>0$ かつ $\sin x>0$ なので $f^{\prime }(x)>0$、$\pi <x<2\pi$ では $\sin x<0$ なので $f^{\prime }(x)<0$ である。したがって $f(x)$ は $[0,\pi ]$ で増加し、$[\pi ,2\pi ]$ で減少する。

端点と山の値は $f(0)=1,f(\pi )=1+\pi ,f(2\pi )=1-2\pi$ である。よって最大値は $1+\pi$ 最小値は $1-2\pi$ である。

(2)

部分積分を用いると $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x$ である。したがって

より $\int f(x)dx=x-x\sin x-2\cos x+C$ である。

(3)

(1) より $[0,\pi ]$ では $f(x)\geqq f(0)=1>0$ である。また $[\pi ,2\pi ]$ では単調減少し、$f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=1-1-\frac{3\pi }{2}\cdot 0=0$ である。したがって $f(x)\geqq 0$ は $0\leqq x\leqq 3\pi /2$、$f(x)\leqq 0$ は $3\pi /2\leqq x\leqq 2\pi$ で成り立つ。 $F(x)=x-x\sin x-2\cos x$ とおくと、(2) より $F^{\prime }(x)=f(x)$ である。値を計算すると

である。よって

$=\{3\pi -(-2)\}-\{(2\pi -2)-3\pi \}=4\pi +4$ である。

解法2

(問1)

したがって $f$ は $[0,\pi ]$ で増加し、$[\pi ,2\pi ]$ で減少する。値は

よって最大値は $1+\pi$、最小値は $1-2\pi$ である。

(問2)

であるから

(問3)

$[0,\pi ]$ では $f>0$ であり、$[\pi ,2\pi ]$ では単調減少する。さらに

なので、負となるのは $3\pi /2<x\leqq 2\pi$ だけである。原始関数を

とおくと

符号付き全積分は

であり、負の部分の積分は

したがって