北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $P(z)$ は三角形 $OAB$ の外心なので $$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\beta \mathrm{\mid }$$ である。また仮定より $z=\alpha \beta$ である。$B$ は原点 $O$ と異なるので $\beta \mathrm{\ne }0$ である。そこで $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\beta \mathrm{\mid }$ に $z=\alpha \beta$ を代入すると $$\mathrm{\mid }\alpha \beta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \beta -\beta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }$$ となる。$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ で割って $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }$ を得る。

これは点 $A(\alpha )$ が複素数平面上の2点 $0,1$ から等距離にあることを表す。したがって $A$ は線分 $[0,1]$ の垂直二等分線上にあり、$$\mathrm{Re}\alpha =\frac{1}{2}$$ を満たす。すなわち $\alpha =\frac{1}{2}+ui$ である。ただし $u$ は実数である。点 $A$ の軌跡は、実部が $1\mathrm{/}2$ である直線である。

(2)
同様に $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }$ に $z=\alpha \beta$ を代入すると $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta -1\mathrm{\mid }$ である。よって $$\alpha =\frac{1}{2}+ui,\beta =\frac{1}{2}+vi$$ とおける。三角形 $OAB$ が退化しないためには $A\mathrm{\ne }B$ であり、この表示では $u\mathrm{\ne }v$ である。

このとき$$z=\alpha \beta =(\frac{1}{2}+ui)(\frac{1}{2}+vi)=(\frac{1}{4}-uv)+\frac{u+v}{2}i$$である。$z=X+Yi$ と書くと $$Y=\frac{u+v}{2},X=\frac{1}{4}-uv$$ である。和 $u+v=2Y$ を固定すると、2つの実数 $u,v$ について $$uv\leqq {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=Y^2$$ であり、等号は $u=v$ のときに限る。ここでは $u\mathrm{\ne }v$ なので $uv<Y^2$ である。したがって $$X=\frac{1}{4}-uv>\frac{1}{4}-Y^2$$ を得る。

逆に、$X>1\mathrm{/}4-Y^2$ を満たす点 $X+Yi$ に対しては、和 $2Y$、積 $1\mathrm{/}4-X$ をもつ相異なる2実数 $u,v$ を選べる。よって点 $P(z)$ の存在範囲は $X>\frac{1}{4}-Y^2$ で表される領域である。境界の放物線 $X=1\mathrm{/}4-Y^2$ は含まない。

別解。外心 $P(z)$ を中心とし原点を通る円は、任意の点 $w$ について $\mathrm{\mid }w-z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ すなわち $$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{Re}(w\bar{z})$$ で表される。ここに $w=\alpha$、$z=\alpha \beta$ を代入すると$$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{Re}(\alpha \overline{\alpha \beta })=2\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{Re}\bar{\beta }$$であり、$\alpha \mathrm{\ne }0$ より $$\mathrm{Re}\beta =1\mathrm{/}2$$ を得る。同様に $w=\beta$ から $$\mathrm{Re}\alpha =1\mathrm{/}2$$ が出る。以後は主解と同じく $\alpha =1\mathrm{/}2+ui$、$\beta =1\mathrm{/}2+vi$ と置いて範囲を求めればよい。

原点を通り中心が $z$ の円を $\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{Re}(w\bar{z})$ と表す。ここへ $w=\alpha ,\beta$ と $z=\alpha \beta$ を代入して両点の実部を直接決める。最後は和と積をもつ相異なる2実数の判別式で $z$ の範囲を得る。

(問1)

外接円は中心 $z$ で原点を通るから、円上の複素数 $w$ は$$\mathrm{\mid }w-z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$$を満たす。平方して整理すると$$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{Re}(w\bar{z})\mathrm{.}$$ここに $w=\beta$、$z=\alpha \beta$ を代入する。$$\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{Re}(\beta \overline{\alpha \beta })=2\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{Re}\alpha \mathrm{.}$$$\beta \mathrm{\ne }0$ より$$\mathrm{Re}\alpha =\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって点 $A$ の軌跡は直線 $X=1\mathrm{/}2$ である。

(問2)

同様に $w=\alpha$ を代入すると$$\mathrm{Re}\beta =\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって実数 $u,v$ を用いて$$\alpha =\frac{1}{2}+ui,\beta =\frac{1}{2}+vi$$と書ける。三角形が退化しない条件は $u\mathrm{\ne }v$ である。$$z=\alpha \beta =(\frac{1}{4}-uv)+\frac{u+v}{2}i\mathrm{.}$$$z=X+Yi$ とおけば、$u,v$ は$$t^2-2Yt+(\frac{1}{4}-X)=0$$の相異なる2実根である。判別式が正である条件は$$(2Y{)}^2-4(\frac{1}{4}-X)>0,$$すなわち$$X>\frac{1}{4}-Y^2\mathrm{.}$$逆にこの不等式が成り立てば相異なる実根 $u,v$ が存在するので十分でもある。

境界の放物線 $X=1\mathrm{/}4-Y^2$ は含まない。