北大 2017年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

二乗和は重心 $G$ を中心に $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = 3 P G^{2} +$ 定数と書ける。これにより $D$ は中心 $G$ の円板になる。(1) は半径が実数になる条件、(2) は三角形全体を含むために最も遠い頂点まで届く条件、(3) は円板が三角形内に収まるために中心から各辺までの最小距離以下である条件を調べる。

解答

三角形 $A B C$ の重心を $G$ とすると $G (\frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{0 + 1 + 2}{3}) = (2, 1)$ である。任意の点 $P$ について、重心の性質より $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = 3 P G^{2} + A G^{2} + B G^{2} + C G^{2}$ である。実際、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ を用いて展開すれば交差項が消える。

ここで $A G^{2} = (1 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} = 2, B G^{2} = 1, C G^{2} = 1$ であるから $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = 3 P G^{2} + 4$ となる。したがって $D$ は $P G^{2} ≦ \frac{a - 4}{3}$ で表される、中心 $G$ の円板である。

(1) $D$ が少なくとも1点を含むためには、右辺が0以上であればよい。よって $\frac{a - 4}{3} ≧ 0$ すなわち $a ≧ 4$ である。

(2) $D$ は円板で凸であり、三角形 $T$ も3頂点の凸包である。したがって $D$ が $T$ 全体を含むためには、3頂点 $A, B, C$ が $D$ に含まれれば十分かつ必要である。 $G$ からの距離の2乗は $A G^{2} = 2, B G^{2} = 1, C G^{2} = 1$ なので、必要十分条件は $\frac{a - 4}{3} ≧ 2$ である。よって $a ≧ 10$ である。

(3) $D$ が $T$ に含まれるには、中心 $G$ から三角形の各辺までの距離の最小値以下に、円板の半径を抑えればよい。各辺の方程式は $A B : x - 2 y - 1 = 0,$ $B C : x + y - 4 = 0,$ $C A : 2 x - y - 2 = 0$ である。点 $G (2, 1)$ からこれらの直線までの距離は順に $\frac{∣ 2 - 2 - 1 ∣}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{∣ 2 + 1 - 4 ∣}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{∣ 4 - 1 - 2 ∣}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。最小値は $1 / \sqrt{5}$ である。

したがって $\sqrt{\frac{a - 4}{3}} ≦ \frac{1}{\sqrt{5}}$ が必要十分であり、 $\frac{a - 4}{3} ≦ \frac{1}{5}$ となる。(1) の条件 $a ≧ 4$ と合わせて $4 ≦ a ≦ \frac{23}{5}$ である。

別解

解法2

方針

点 $P = (x, y)$ として距離の二乗を直接展開し、平方完成で $D$ を円板として読む。包含の向きに応じ、問2では最遠頂点、問3では中心から最寄りの辺までの距離を調べる。

解答

点 $P = (x, y)$ とする。直接展開して平方完成すると $\begin{aligned} A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} & = (x - 1)^{2} + y^{2} + (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} \\ + (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} \\ = 3 (x - 2)^{2} + 3 (y - 1)^{2} + 4. \end{aligned}$ したがって $D$ は中心 $G = (2, 1)$ 、半径 $ρ = \sqrt{\frac{a - 4}{3}}$ の円板である。

(問1)

実数の半径をもつ条件は $a ≧ 4.$ (問2)

円板は凸集合なので、三角形 $T$ を含むための必要十分条件は3頂点を含むことである。 $G A^{2} = 2, G B^{2} = G C^{2} = 1.$ よって $ρ^{2} ≧ 2$ すなわち $a ≧ 10.$ (問3)

3辺の方程式は $A B : x - 2 y - 1 = 0, B C : x + y - 4 = 0, C A : 2 x - y - 2 = 0.$ 点 $G$ からの距離は順に $\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{5}} .$ したがって円板全体が $T$ に含まれる条件は $0 ≦ ρ ≦ \frac{1}{\sqrt{5}} .$ よって $4 ≦ a ≦ \frac{23}{5} .$

総評

難度6、計算量5。想定時間は24分程度。重心公式と座標の平方完成の2通りで $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = 3 P G^{2} + 4$ を確認した。問2は最遠頂点、問3は最寄りの辺を見る。答えは順に $a ≧ 4$ 、 $a ≧ 10$ 、 $4 ≦ a ≦ 23 / 5$ である。

出典: 北海道大学 2017年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

北海道大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問