北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
まず $\overrightarrow{p}$ を座標で表す。$$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t),\frac{1}{2}(1-t),t)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{p}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\frac{3}{4}(1-t{)}^2+\frac{1}{4}(1-t{)}^2+t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-t{)}^2+t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t^2-2t+1}\end{array}$$であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}\mathrm{\mid }=\sqrt{2t^2-2t+1}$$ である。

次に$$\overrightarrow{q}=(1-s)\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OD}=(s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{q}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={(s-\frac{1}{2})}^2+3{(s-\frac{1}{2})}^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{(s-\frac{1}{2})}^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4s^2-4s+2}\end{array}$$であるから $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}\mathrm{\mid }=\sqrt{2(2s^2-2s+1)}$$ である。

また内積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}}& {\displaystyle =(1-t)(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)\cdot (s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +t(0,0,1)\cdot (s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1)}\end{array}$$である。第1項の $xy$ 成分の内積は$$-\frac{\sqrt{3}}{2}(s-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}(s-\frac{1}{2})=0$$なので $$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=-t$$ である。

(2) $t=\frac{1}{2}$ のとき、(1)より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}{\mathrm{\mid }}^2=2\cdot \frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{2}$$ であり、$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=-\frac{1}{2}$$ である。なす角が $\frac{3\pi }{4}$ である条件は$$\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}\mathrm{\mid }}=\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$である。これに代入すると $$\frac{-1\mathrm{/}2}{(1\mathrm{/}\sqrt{2})\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}\mathrm{\mid }}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ であり、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}\mathrm{\mid }=1$ を得る。よって $4s^2-4s+2=1$ すなわち $(2s-1{)}^2=0$ である。したがって $s=\frac{1}{2}$ である。

(3)
(1)の結果を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}{\mathrm{\mid }}^2-2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2t^2-2t+1)+(4s^2-4s+2)+2t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4s^2-4s+2t^2+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{(s-\frac{1}{2})}^2+2t^2+2}\end{array}$$である。$s,t$ は実数全体を動くので、右辺の最小値は $s=\frac{1}{2},t=0$ のときの $2$ である。したがって求める長さの最小値は $\sqrt{2}$ である。

設問(3)では $\overrightarrow{p}$ と $\overrightarrow{q}$ の終点が、それぞれ直線 $AB$、$CD$ 上を動くと見る。$A$ と $CD$ の中点を結ぶベクトルが両直線の方向ベクトルに垂直であることを内積で確かめれば、その長さが最短距離であることを示せる。

(1)
座標表示から直接計算すると$$\mid \overrightarrow{p}{\mid }^2=2t^2-2t+1,\mid \overrightarrow{q}{\mid }^2=4s^2-4s+2,$$また $A$ の $xy$ 成分と $CD$ の方向が直交するため$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=-t$$である。

(2)
$t=1\mathrm{/}2$ のとき、$$\mid \overrightarrow{p}\mid =1\mathrm{/}\sqrt{2}$$、$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=-1\mathrm{/}2$$ である。余弦の式から $$\mid \overrightarrow{q}\mid =1$$ となり、$$4s^2-4s+2=1$$より $s=1\mathrm{/}2$ を得る。

(3)
直線 $CD$ の中点を $R$ とすると$$R=(0,0,-1)$$である。2直線の方向ベクトルと、$R$ から $A$ へ向かうベクトルを$$\mathit{u}=B-A=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1),\mathit{v}=D-C=(1,\sqrt{3},0),$$$$\mathit{w}=A-R=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1)$$とおく。直接計算すると$$\mathit{w}\cdot \mathit{u}=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}+1=0,\mathit{w}\cdot \mathit{v}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$である。また、$R$ は $s=1\mathrm{/}2$ に対応するから$$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}=\mathit{w}+t\mathit{u}-(s-\frac{1}{2})\mathit{v}\mathrm{.}$$ここで $\mathit{w}$ は $\mathit{u}$、$\mathit{v}$ のどちらにも垂直なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}{\mid }^2}& {\displaystyle =\mid \mathit{w}{\mid }^2+{\mid t\mathit{u}-(s-\frac{1}{2})\mathit{v}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq \mid \mathit{w}{\mid }^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1=2.}\end{array}$$$t=0,s=1\mathrm{/}2$ のとき等号が成り立つ。したがって求める最小値は $\sqrt{2}$ である。