Evolton
方針
距離不等式を2乗して整理し、 を半平面 と円 の共通部分として表す。等号点は直線と円の交点として求める。(2)の追加条件 も2乗すると線形不等式 になる。したがって、 上で一次式 の最大値を調べればよい。 では最大は境界直線上の点 で起こるので、そこを代入して の範囲を出す。
解答
(1)
まず を整理する。両辺は距離で非負なので、2乗してよい。 である。展開すると すなわち である。
次に を整理する。同様に2乗して である。展開して整理すると であり、3で割って平方完成すると となる。
したがって は、円 の内部および周上で、さらに半平面 に含まれる部分である。
次に となる点を求める。これは2つの境界 の交点である。 を円の方程式に代入すると である。整理して となり、 である。よって交点は である。
(2)
点 は である。条件 を2乗して整理すると である。展開して を得る。
したがって、 上で一次式 がどこまで大きくなるかを調べればよい。 は円板を直線 の下側で切った領域である。まず円板全体で を最大にする点を考えると、中心 から方向 へ半径5だけ進んだ点である。その点の は であり、 ではこれは11より大きい。したがって円板全体での最大点は 側にあり、 には含まれない。よって での最大は切り口である線分 上で起こる。
この線分上では なので である。 ではこれは が小さいほど大きい。線分の端点は(1)より と であるから、最大は で起こる。 のときはこの線分上で一定であり、やはり を見れば十分である。
したがって、条件を満たす点 が存在するための必要十分条件は である。すなわち である。整理すると であり、 となる。もともと なので、求める範囲は である。
別解
解法2（領域の支持直線）
方針
3つの距離条件を半平面と円板に変換する。設問(2)の存在条件は、一次式 の等高線を領域 に当て、最大値が条件値に届くかという支持直線の問題として捉える。
解答
(1)
距離を二乗して整理するとしたがって はこの半平面と円板の共通部分である。両境界の交点はを解いて となる。
(2)
はと同値である。よって 上で の最大値を求めればよい。 のとき等高線の傾きは で、領域を上方から支える点は円弧と直線境界の接続点 である。 では線分 上で一定なので、同じ点を用いてよい。
したがって存在条件はすなわちもとの範囲と合わせて である。
総評
難度8、目安時間24分。距離条件を2乗して、円と半平面の共通部分に直すところまでは標準的である。(2)はさらに距離条件が一次不等式になるため、領域 上の一次式の最大化問題になる。最大点が円弧ではなく、切り口の線分上の端点 で起こる理由を説明するのが答案上の核心である。 も等号点だが、 では目的関数の最大にはならない点に注意したい。