北海道大学 2018年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

2つの関数

f (x) = cos x, g (x) = \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} - \frac{π}{2}

を考える。

(1) $0 ≦ x ≦ π /2$ のとき

\frac{2}{π} x ≦ sin x

を示せ。

(2) $0 ≦ x ≦ π /2$ のとき $g (x) ≦ f (x)$ を示せ。

(3) $0 ≦ x ≦ π /2$ において、2曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ と $y$ 軸が囲む面積を求めよ。

出典：北海道大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1

(1)は $h (x) = sin x - 2 x / π$ とおき、端点と導関数の符号変化から示すと、グラフの弦に頼らずに説明できる。(2)は $H (x) = f (x) - g (x)$ とおき、 $H^{'} (x) = - sin x + x / π^{2} /2 - x^{2}$ を評価する。(1)の下限評価と、平方根部分が $π /2$ 以上であることを合わせると $H^{'} (x) ≦ 0$ となるので、 $H (π /2) = 0$ から $H (x) ≧ 0$ を得る。(3)は $f - g$ を積分し、平方根の積分は半径 $π / 2$ の円の扇形と三角形の面積で求める。

解法2（凹性と三角置換）

設問(1)は $sin x$ の凹性から弦の上にあることを用いる。設問(2)は導関数比較へつなぎ、設問(3)の円弧部分は $x = (π / 2) sin θ$ と置いて積分を直接評価する。

解答

解法1

(1)

$h (x) = sin x - \frac{2}{π} x$ とおく。すると $h (0) = 0, h (\frac{π}{2}) = 0$ である。また $h^{'} (x) = cos x - \frac{2}{π}$ である。 $cos x$ は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で単調に減少するので、 $h^{'} (x)$ は一度だけ正から負へ変わる。したがって $h (x)$ は、はじめ増加し、その後減少する。両端で0なので、区間全体で $h (x) ≧ 0$ である。よって $\frac{2}{π} x ≦ sin x$ が成り立つ。

(2)

$H (x) = f (x) - g (x) = cos x - \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} + \frac{π}{2}$ とおく。示すべきことは $H (x) ≧ 0$ である。

微分すると $H^{'} (x) = - sin x + \frac{x}{\frac{π ^{2}}{2} - x ^{2}}$ である。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では、(1)より $sin x ≧ \frac{2}{π} x$ である。また

\frac{π ^{2}}{2} - x^{2} ≧ \frac{π ^{2}}{2} - \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π ^{2}}{4}

なので $\frac{π ^{2}}{2} - x^{2} ≧ \frac{π}{2}$ である。したがって $\frac{x}{\frac{π ^{2}}{2} - x ^{2}} ≦ \frac{2 x}{π}$ であり、 $H^{'} (x) ≦ - \frac{2 x}{π} + \frac{2 x}{π} = 0$ となる。よって $H (x)$ はこの区間で減少する。

さらに

H (\frac{π}{2}) = cos \frac{π}{2} - \frac{π ^{2}}{2} - \frac{π ^{2}}{4} + \frac{π}{2} = 0

である。 $H$ は減少するので、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $H (x) ≧ H (\frac{π}{2}) = 0$ である。したがって $g (x) ≦ f (x)$ が成り立つ。

(3)

(2)より、求める面積は $\int_{0}^{π /2} {f (x) - g (x)} d x$ である。したがって

\int_{0}^{π /2} {f (x) - g (x)} d x = \int_{0}^{π /2} (cos x - \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} + \frac{π}{2}) d x = 1 + \frac{π ^{2}}{4} - \int_{0}^{π /2} \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} d x

である。

ここで $y = \frac{π ^{2}}{2} - x^{2}$ は、原点中心・半径 $\frac{π}{2}$ の円の上半分である。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ に対応する中心角は $arcsin \frac{π /2}{π / 2} = \frac{π}{4}$ である。したがってこの積分は、中心角 $\frac{π}{4}$ の扇形の面積と、直角三角形の面積の和で

\int_{0}^{π /2} \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} d x = \frac{1}{2} (\frac{π}{2})^{2} \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π ^{3}}{16} + \frac{π ^{2}}{8}

である。

よって求める面積は

1 + \frac{π ^{2}}{4} - (\frac{π ^{3}}{16} + \frac{π ^{2}}{8}) = 1 + \frac{π ^{2}}{8} - \frac{π ^{3}}{16}

である。

解法2（凹性と三角置換）

(1)

$0 ≦ x ≦ π /2$ では $(sin x)^{''} = - sin x ≦ 0$ だから $sin x$ は上に凸である。したがってグラフは端点 $(0, 0)$ 、 $(π /2, 1)$ を結ぶ弦の上にあり、

sin x ≧ \frac{2}{π} x

となる。

(2)

$H = f - g$ とおくと

H^{'} (x) = - sin x + \frac{x}{π ^{2} /2 - x ^{2}} .

この区間では

sin x ≧ \frac{2 x}{π}, \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} ≧ \frac{π}{2}

なので $H^{'} (x) ≦ 0$ 。しかも $H (π /2) = 0$ だから $H (x) ≧ 0$ 、すなわち $g (x) ≦ f (x)$ である。

(3)

求める面積を $S$ とすると

S = 1 + \frac{π ^{2}}{4} - \int_{0}^{π /2} \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} d x .

ここで $x = (π / 2) sin θ$ と置けば、積分区間は $0 ≦ θ ≦ π /4$ となり

\int_{0}^{π /2} \frac{π ^{2}}{2} - x^{2} d x = \frac{π ^{2}}{2} \int_{0}^{π /4} cos^{2} θ d θ = \frac{π ^{3}}{16} + \frac{π ^{2}}{8} .

したがって

S = 1 + \frac{π ^{2}}{8} - \frac{π ^{3}}{16} .

北海道大学 2018年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1

解法2（凹性と三角置換）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（凹性と三角置換）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2018年度
理系数学前期第5問