北海道大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$h(x)=\sin x-\frac{2}{\pi }x$$ とおく。すると $$h(0)=0,h\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$$ である。また $h^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-\frac{2}{\pi }$ である。$\cos x$ は $$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$$ で単調に減少するので、$h^{\mathrm{\prime }}(x)$ は一度だけ正から負へ変わる。したがって $h(x)$ は、はじめ増加し、その後減少する。両端で0なので、区間全体で $h(x)\geqq 0$ である。よって $$\frac{2}{\pi }x\leqq \sin x$$ が成り立つ。

(2) $$H(x)=f(x)-g(x)=\cos x-\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}+\frac{\pi }{2}$$ とおく。示すべきことは $H(x)\geqq 0$ である。

微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+\frac{x}{\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}}$$ である。$$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$$ では、(1)より $\sin x\geqq \frac{2}{\pi }x$ である。また$$\frac{{\pi }^2}{2}-x^2\geqq \frac{{\pi }^2}{2}-\frac{{\pi }^2}{4}=\frac{{\pi }^2}{4}$$なので $$\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}\geqq \frac{\pi }{2}$$ である。したがって $$\frac{x}{\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}}\leqq \frac{2x}{\pi }$$ であり、$$H^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq -\frac{2x}{\pi }+\frac{2x}{\pi }=0$$ となる。よって $H(x)$ はこの区間で減少する。

さらに$$H\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}-\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{{\pi }^2}{4}}+\frac{\pi }{2}=0$$である。$H$ は減少するので、$$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$$ では $$H(x)\geqq H\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$$ である。したがって $g(x)\leqq f(x)$ が成り立つ。

(3)
(2)より、求める面積は ${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\{f(x)-g(x)\}dx$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\{f(x)-g(x)\}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\cos x-\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}+\frac{\pi }{2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{{\pi }^2}{4}-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}dx}\end{array}$$である。

ここで $$y=\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}$$ は、原点中心・半径 $\frac{\pi }{\sqrt{2}}$ の円の上半分である。正の $y$ 軸と、点 $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ への半径がなす角を $\phi$ とすると、$$0<\phi <\frac{\pi }{2}$$ であり、$$\sin \phi =\frac{\pi \mathrm{/}2}{\pi \mathrm{/}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$である。したがって $$\phi =\frac{\pi }{4}$$ である。この積分は、中心角 $\frac{\pi }{4}$ の扇形の面積と、直角三角形の面積の和で$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}dx=\frac{1}{2}{\left(\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)}^2\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^3}{16}+\frac{{\pi }^2}{8}$$である。

よって求める面積は$$1+\frac{{\pi }^2}{4}-(\frac{{\pi }^3}{16}+\frac{{\pi }^2}{8})=1+\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{{\pi }^3}{16}$$である。

設問(1)は $\sin x$ の凹性から弦の上にあることを用いる。設問(2)は導関数比較へつなぎ、設問(3)の円弧部分は $x=(\pi \mathrm{/}\sqrt{2})\sin \theta$ と置いて積分を直接評価する。

(1)
$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $$(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-\sin x\leqq 0$$ だから $\sin x$ は上に凸である。したがってグラフは端点 $(0,0)$、$(\pi \mathrm{/}2,1)$ を結ぶ弦の上にあり、$$\sin x\geqq \frac{2}{\pi }x$$となる。

(2)
$H=f-g$ とおくと$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+\frac{x}{\sqrt{{\pi }^2\mathrm{/}2-x^2}}\mathrm{.}$$この区間では$$\sin x\geqq \frac{2x}{\pi },\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}\geqq \frac{\pi }{2}$$なので $H^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$。しかも $H(\pi \mathrm{/}2)=0$ だから $H(x)\geqq 0$、すなわち $g(x)\leqq f(x)$ である。

(3)
求める面積を $S$ とすると$$S=1+\frac{{\pi }^2}{4}-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}dx\mathrm{.}$$ここで $$x=(\pi \mathrm{/}\sqrt{2})\sin \theta$$ と置けば、積分区間は $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$ となり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{{\pi }^2}{2}-x^2}dx}& {\displaystyle =\frac{{\pi }^2}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\pi }^3}{16}+\frac{{\pi }^2}{8}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S=1+\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{{\pi }^3}{16}\mathrm{.}$$