問題
が実数となる、0でない複素数 の全体を とする。
(1) を複素平面上に図示せよ。
(2) を実数とする。 に属する で
を満たすものが存在するような の範囲を求めよ。ただし は虚数単位である。
方針
解法1
(1)は とおいて、 の虚部が0になる条件を求める。すると または となり、 は実軸と半径2の円の和集合である。(2)では、実軸上の点は別に確認し、円 上では と置く。方程式から が出るので、 として の最大値を調べる。
解法2（直線と円の交点条件）
円周 上では となる。 と置けば方程式は直線 になり、原点からこの直線までの距離が円の半径2以下という条件だけで の範囲が決まる。
解答
解法1
(1)
とおく。ただし である。このとき だから、 である。虚部は である。したがって が実数である条件は である。よって または である。
したがって は、原点を除いた実軸と、原点中心・半径2の円周の和集合である。円周上には は含まれないので、そのまま含めてよい。
(2)
まず が実軸上にある場合を考える。このとき と はどちらも実数である。方程式 の左辺は実数、右辺は純虚数なので、両辺が等しいためには両辺が0でなければならない。したがって より である。このとき左辺が0になるためには が必要であり、 は後で得る範囲に含まれる。
次に円 上の点を考える。 とおくと である。したがって である。方程式は となる。 であるから である。 とおくと、 であり、 である。これを とおく。分子を整理して微分すると である。 では なので、最大は で起こる。このとき
である。 の符号を変えれば の符号も変わるので、 は正負対称にすべての値をとる。よって求める範囲は である。
解法2（直線と円の交点条件）
(1)
とおくと
したがって
(2)
実軸上では両辺の実部・虚部を比較して だけが候補となり、これは後の範囲に含まれる。円周上では だから
よって与式は
となる。この直線と円 が交わるための必要十分条件は、原点から直線 までの距離が2以下であること、すなわち
これを平方して整理すると 。したがって
