問題
を負の実数とする。座標空間に原点と3点，，があり，3点，，が定める平面をとする。また，点から平面に垂線を下ろし，との交点をとする。
(1) 点の座標をを用いて表せ。
(2) 点がの周または内部にあるようなの範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
解法1（平面内の係数と垂直条件を使う）
文系第1問と同じ射影の構造で、 を と表して垂直条件を立てる。理系では(1)が座標を求める設問なので、求めた を必ず座標に戻す。
解法2（平面方程式から射影する）
平面の法線ベクトルを内積の連立条件で求め、点 から法線方向へ動かして垂線の足 を直接計算する。(2)では を の係数表示に戻す。
解答
解法1（平面内の係数と垂直条件を使う）
(1)
である。点 は平面 上にあるから とおく。このとき である。 は平面 に垂直なので、 は と の両方に垂直である。したがって
である。ここで なので、内積を計算して を得る。これを解くと である。
よって
となる。したがって
である。
(2)
点 が三角形 の周または内部にある条件は である。(1)の を代入すると
である。これらはそれぞれ を与える。したがって である。
解法2（平面方程式から射影する）
(1)
法線ベクトルを とおくと
だから、 と取れる。平面 は
である。 とおいて代入すると
したがって である。よって
(2)
と表すと、第3成分と第2成分から
三角形内の条件
を用いれば
したがって
である。