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北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

pを負の実数とする。座標空間に原点Oと3点A(−1, 2, 0)，B(2, −2, 1)，
P(p, −1, 2)があり，3点O，A，Bが定める平面をαとする。
また，点Pから平面αに垂線を下ろし，αとの交点をQとする。

(1) 点Qの座標をpを用いて表せ。

(2) 点Qが△OABの周または内部にあるようなpの範囲を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安16分

ベクトル、図形と方程式　座標設定、内積の利用、範囲評価

方針

文系第1問と同じ射影の構造で、Q を aOA→+bOB→ と表して垂直条件を立てる。理系では(1)が座標を求める設問なので、求めた a,b を必ず座標に戻す。

解答

(1) OA→=(−1,2,0),OB→=(2,−2,1),OP→=(p,−1,2)である。点 Q は平面 α 上にあるから OQ→=aOA→+bOB→ とおく。このとき OQ→=(−a+2b, 2a−2b, b) である。 PQ は平面 α に垂直なので、OP→−OQ→ は OA→ と OB→ の両方に垂直である。したがって(OP→−OQ→)⋅OA→=0,(OP→−OQ→)⋅OB→=0である。ここで OP→−OQ→=(p+a−2b, −1−2a+2b, 2−b) なので、内積を計算して −p−2−5a+6b=0,2p+4+6a−9b=0 を得る。これを解くと a=p+23,b=4p+89 である。

よってOQ→=p+23(−1,2,0)+4p+89(2,−2,1)=(5p+109, −2p+49, 4p+89)となる。したがってQ(5p+109, −2p+49, 4p+89)である。

(2)
点 Q が三角形 OAB の周または内部にある条件は a≧0,b≧0,a+b≦1 である。(1)の a,b を代入するとp+23≧0,4p+89≧0,7(p+2)9≦1である。これらはそれぞれ p≧−2,p≧−2,p≦−57 を与える。したがって −2≦p≦−57 である。

別解

解法2（平面方程式から射影する）

方針

平面の法線ベクトルを内積の連立条件で求め、点 P から法線方向へ動かして垂線の足 Q を直接計算する。(2)では Q を OA→,OB→ の係数表示に戻す。

解答

(1)

法線ベクトルを (u,v,w) とおくと−u+2v=0,2u−2v+w=0だから、(2,1,−2) と取れる。平面 α は2x+y−2z=0である。Q=P+λ(2,1,−2) とおいて代入すると2(p+2λ)+(−1+λ)−2(2−2λ)=0,したがって λ=(5−2p)/9 である。よってQ(5p+109,−2p+49,4p+89).(2)Q=aOA→+bOB→ と表すと、第3成分と第2成分からb=4p+89,a=p+23.三角形内の条件a≧0,b≧0,a+b≦1を用いればp≧−2,7(p+2)9≦1.したがって−2≦p≦−57である。

総評

難度6、目安時間16分。射影を内積条件で求める方法が最も三角形内条件へつながりやすい。理系の(1)では係数 a,b だけで止めず、Q の座標まで戻す必要がある。別解の法線ベクトル法は計算が短い一方、(2)では結局 Q を OA,OB の係数に戻す必要があるため、主解の流れの方が採点答案としてはまとまりやすい。符号ミスが起こりやすいので、最後に p=−2 で Q=O になることを確認するとよい。

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出典: 北海道大学 2019年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。