北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
加法定理より $$\sin (x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_{n+1}(x)}& {\displaystyle =2\cos x+\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{f}_n(t)\{\sin x\cos t-\cos x\sin t\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos x+b_n\sin x-a_n\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n\sin x+(2-a_n)\cos x}\end{array}$$である。

ここで$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}xdx=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\pi }\sin x\cos xdx=0$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\{b_n\sin x+(2-a_n)\cos x\}\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n}\end{array}$$であり、同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\{b_n\sin x+(2-a_n)\cos x\}\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-a_n}\end{array}$$である。したがって $$a_{n+1}=b_n,b_{n+1}=2-a_n$$ である。

(2) $c_n=a_n-1$ とおく。(1)より $a_{n+2}=b_{n+1}=2-a_n$ であるから $$c_{n+2}=a_{n+2}-1=1-a_n=-(a_n-1)=-c_n$$ である。したがって $c_{n+2}=-c_n$ が成り立つ。

また $$c_1=a_1-1,c_2=a_2-1=b_1-1$$ である。$c_{n+2}=-c_n$ より、$m=0,1,2,\dots$ として$$\begin{array}{cc}n& c_n\\ 4m+1& a_1-1\\ 4m+2& b_1-1\\ 4m+3& 1-a_1\\ 4m+4& 1-b_1\end{array}$$である。

(3) $a_n,b_n$ が $n$ によらない定数となるとする。その定数を $a,b$ と書くと、(1)より $a=b,b=2-a$ である。したがって $a=b=1$ であればよい。

例えば $f(x)=\sin x+\cos x$ とする。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1}& {\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(\sin x+\cos x)\sin xdx=1,}\\ {\displaystyle b_1}& {\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(\sin x+\cos x)\cos xdx=1}\end{array}$$である。すると(1)の漸化式から $$a_{n+1}=b_n=1,b_{n+1}=2-a_n=1$$ が続くので、すべての $n$ で $a_n=b_n=1$ となる。よって条件を満たす関数の一例は $f(x)=\sin x+\cos x$ である。

(1) で得た漸化式を $(a_n-1,b_n-1)$ の複素数表示に移す。1段進む操作が $-i$ 倍になることから、周期4と定数列の条件をまとめて読む。

(1)
加法定理で核を展開すると$$f_{n+1}(x)=2\cos x+\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{f}_n(t)\sin (x-t)dt=b_n\sin x+(2-a_n)\cos x\mathrm{.}$$$\sin x,\cos x$ の直交性から$$a_{n+1}=b_n,b_{n+1}=2-a_n\mathrm{.}$$(2)
$z_n=(a_n-1)+i(b_n-1)$ とおくと$$z_{n+1}=(b_n-1)+i(1-a_n)=-i{z}_n,z_n=(-i{)}^{n-1}{z}_1\mathrm{.}$$よって、$m=0,1,2,\dots$ に対して$$\begin{array}{ccccc}n& 4m+1& 4m+2& 4m+3& 4m+4\\ c_n=a_n-1& a_1-1& b_1-1& 1-a_1& 1-b_1\end{array}$$であり、特に $c_{n+2}=-c_n$ である。

(3)
数列が一定なら $z_{n+1}=z_n$ である。一方 $z_{n+1}=-i{z}_n$ だから $z_n=0$、すなわち $a_n=b_n=1$ である。実際、$$f(x)=\sin x+\cos x$$とすれば直交性から $a_1=b_1=1$ となり、以後も一定である。