北海道大学 2019年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$f (x)$ を区間 $[0, π]$ で連続な関数とする。関数 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots\dots$ を関係式

f_{1} (x) = f (x),

f_{n + 1} (x) = 2 cos x + \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f_{n} (t) sin (x - t) d t (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

により定める。さらに，自然数 $n$ に対して

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f_{n} (t) sin t d t, b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f_{n} (t) cos t d t

とおく。

(1) $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いて表せ。

(2) $c_{n} = a_{n} - 1$ とおく。このとき， $c_{n + 2} = - c_{n}$ が成立することを示し，一般項 $c_{n}$ を $a_{1}$ と $b_{1}$ を用いて表せ。

(3) $a_{n}, b_{n}$ が $n$ によらない定数となるような $f (x)$ を1つ求めよ。

出典：北海道大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（三角関数の直交性を使う）

$sin (x - t) = sin x cos t - cos x sin t$ を使い、 $f_{n + 1} (x)$ が $sin x$ と $cos x$ の一次結合になることをまず示す。定義された $a_{n}, b_{n}$ はそれぞれ $sin$ 成分と $cos$ 成分を拾う量なので、直交性

\int_{0}^{π} sin x cos x d x = 0, \int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} cos^{2} x d x = \frac{π}{2}

を用いて漸化式を出す。あとは $c_{n} = a_{n} - 1$ の2つ飛ばしの関係と、定数列になる条件を調べる。

解法2（複素数で4周期をまとめる）

(1)で得た漸化式を $(a_{n} - 1, b_{n} - 1)$ の複素数表示に移す。1段進む操作が $- i$ 倍になることから、周期4と定数列の条件をまとめて読む。

解答

解法1（三角関数の直交性を使う）

(1)

加法定理より $sin (x - t) = sin x cos t - cos x sin t$ である。したがって

f_{n + 1} (x) = 2 cos x + \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f_{n} (t) {sin x cos t - cos x sin t} d t = 2 cos x + b_{n} sin x - a_{n} cos x = b_{n} sin x + (2 - a_{n}) cos x

である。

ここで

\int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} cos^{2} x d x = \frac{π}{2}, \int_{0}^{π} sin x cos x d x = 0

である。よって

a_{n + 1} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} {b_{n} sin x + (2 - a_{n}) cos x} sin x d x = b_{n}

であり、同様に

b_{n + 1} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} {b_{n} sin x + (2 - a_{n}) cos x} cos x d x = 2 - a_{n}

である。したがって $a_{n + 1} = b_{n}, b_{n + 1} = 2 - a_{n}$ である。

(2)

$c_{n} = a_{n} - 1$ とおく。(1)より $a_{n + 2} = b_{n + 1} = 2 - a_{n}$ であるから $c_{n + 2} = a_{n + 2} - 1 = 1 - a_{n} = - (a_{n} - 1) = - c_{n}$ である。したがって $c_{n + 2} = - c_{n}$ が成り立つ。

また $c_{1} = a_{1} - 1, c_{2} = a_{2} - 1 = b_{1} - 1$ である。 $c_{n + 2} = - c_{n}$ より、 $m = 0, 1, 2, \dots$ として

n 4 m + 1 4 m + 2 4 m + 3 4 m + 4 c_{n} a_{1} - 1 b_{1} - 1 1 - a_{1} 1 - b_{1}

である。

(3)

$a_{n}, b_{n}$ が $n$ によらない定数となるとする。その定数を $a, b$ と書くと、(1)より $a = b, b = 2 - a$ である。したがって $a = b = 1$ であればよい。

例えば $f (x) = sin x + cos x$ とする。このとき

a_{1} b_{1} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (sin x + cos x) sin x d x = 1, = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (sin x + cos x) cos x d x = 1

である。すると(1)の漸化式から $a_{n + 1} = b_{n} = 1, b_{n + 1} = 2 - a_{n} = 1$ が続くので、すべての $n$ で $a_{n} = b_{n} = 1$ となる。よって条件を満たす関数の一例は $f (x) = sin x + cos x$ である。

解法2（複素数で4周期をまとめる）

(1)

加法定理で核を展開すると

f_{n + 1} (x) = 2 cos x + \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f_{n} (t) sin (x - t) d t = b_{n} sin x + (2 - a_{n}) cos x .

$sin x, cos x$ の直交性から

a_{n + 1} = b_{n}, b_{n + 1} = 2 - a_{n} .

(2)

$z_{n} = (a_{n} - 1) + i (b_{n} - 1)$ とおくと

z_{n + 1} = (b_{n} - 1) + i (1 - a_{n}) = - i z_{n}, z_{n} = (- i)^{n - 1} z_{1} .

よって、 $m = 0, 1, 2, \dots$ に対して

n c_{n} = a_{n} - 1 4 m + 1 a_{1} - 1 4 m + 2 b_{1} - 1 4 m + 3 1 - a_{1} 4 m + 4 1 - b_{1}

であり、特に $c_{n + 2} = - c_{n}$ である。

(3)

数列が一定なら $z_{n + 1} = z_{n}$ である。一方 $z_{n + 1} = - i z_{n}$ だから $z_{n} = 0$ 、すなわち $a_{n} = b_{n} = 1$ である。実際、

f (x) = sin x + cos x

とすれば直交性から $a_{1} = b_{1} = 1$ となり、以後も一定である。

北海道大学 2019年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（三角関数の直交性を使う）

解法2（複素数で4周期をまとめる）

解答

解法1（三角関数の直交性を使う）

(1)

(2)

(3)

解法2（複素数で4周期をまとめる）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2019年度
理系数学前期第5問