北海道大学 2019年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とする。2つの箱XとYがあり，どちらの箱にも1から $n$ までの $n$ 枚の番号札が入っている。
AとBの2人のうち，Aは箱Xから札を1枚取り出し，取り出した札の番号を得点とする。Bは箱Yから札を1枚取り出し，もし取り出した札の番号が3から $n$ までのいずれかであればその番号を得点とし，もし取り出した札の番号が1または2のいずれかであれば，その札を箱Yに戻し，再び箱Yから札を1枚取り出し，取り出した札の番号をBの得点とする。

(1) $m$ を $n$ 以下の自然数とする。Bの得点が $m$ になる確率を求めよ。

(2) Aの得点よりBの得点が大きくなる確率 $p_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1（Bの得点分布で条件付けする）

Bの得点分布を先に求める。1または2を最初に引いたときだけ再抽選が起こるため、 $m = 1, 2$ と $3 ≦ m ≦ n$ で確率が異なる。Aは一様に1から $n$ までを得点するので、Bの得点が $m$ のときにAがそれ未満である確率 $\frac{m - 1}{n}$ を掛けて、 $m$ で和を取る。

解法2（成功する組を直接数える）

(1)でBの得点分布を確認する。(2)では「最初から3以上を引く場合」と「1または2を引いて再抽選する場合」を分け、それぞれでBの得点より小さいAの得点の個数を直接足す。

解答

解法1（Bの得点分布で条件付けする）

(1)

Bが最初に3以上の札を引いた場合は、その番号がそのまま得点になる。一方、最初に1または2を引いた場合は、その札を戻してもう一度引き、2回目の番号が得点になる。

まず $m = 1, 2$ の場合を考える。この得点になるには、最初に1または2を引き、その後の2回目で $m$ を引く必要がある。したがって $P (B = m) = \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{n ^{2}}$ である。

次に $3 ≦ m ≦ n$ の場合を考える。このとき、最初に $m$ を引く場合と、最初に1または2を引いてから2回目に $m$ を引く場合がある。したがって $P (B = m) = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n + 2}{n ^{2}}$ である。よって

P (B = m) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{n ^{2}} \frac{n + 2}{n ^{2}} (m = 1, 2), (3 ≦ m ≦ n)

である。

(2)

Aの得点は1から $n$ まで等確率である。Bの得点が $m$ であるとき、Aの得点よりBの得点が大きいのは、Aの得点が $1, 2, \dots, m - 1$ のいずれかである場合なので、その確率は $\frac{m - 1}{n}$ である。

したがって $p_{n} = \sum_{m = 1}^{n} P (B = m) \frac{m - 1}{n}$ である。(1)を代入すると、 $m = 1$ の項は0なので

p_{n} = \frac{1}{n} {\frac{2}{n ^{2}} + m = 3 \sum n \frac{n + 2}{n ^{2}} (m - 1)} = \frac{1}{n} {\frac{2}{n ^{2}} + \frac{n + 2}{n ^{2}} m = 3 \sum n (m - 1)}

である。ここで $\sum_{m = 3}^{n} (m - 1) = 2 + 3 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2} - 1$ であるから

p_{n} = \frac{1}{n ^{3}} {2 + (n + 2) (\frac{n ( n - 1 )}{2} - 1)} = \frac{n ^{2} + n - 4}{2 n ^{2}}

となる。よって $p_{n} = \frac{n ^{2} + n - 4}{2 n ^{2}}$ である。

解法2（成功する組を直接数える）

(1)

$m = 1, 2$ のときは、最初に1または2を引き、再抽選で $m$ を引く必要があるので

P (B = m) = \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{n ^{2}} .

$3 ≦ m ≦ n$ のときは、最初に $m$ を引く場合も加わるから

P (B = m) = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n + 2}{n ^{2}} .

(2)

最初の抽選でBが $m ≧ 3$ を引き、かつAの得点が $m$ 未満となる寄与は

\frac{1}{n ^{2}} m = 3 \sum n (m - 1) .

一方、Bが最初に1または2を引いて再抽選へ進む確率は $2/ n$ であり、その後の得点を $m$ とすると寄与は

\frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n ^{2}} m = 1 \sum n (m - 1) .

したがって

p_{n} = \frac{1}{n ^{2}} {\frac{n ( n - 1 )}{2} - 1} + \frac{2}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} = \frac{n ^{2} + n - 4}{2 n ^{2}} .

北海道大学 2019年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1（Bの得点分布で条件付けする）

解法2（成功する組を直接数える）

解答

解法1（Bの得点分布で条件付けする）

(1)

(2)

解法2（成功する組を直接数える）

(1)

(2)

北海道大学 2019年度
理系数学前期第4問