北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
Bが最初に3以上の札を引いた場合は、その番号がそのまま得点になる。一方、最初に1または2を引いた場合は、その札を戻してもう一度引き、2回目の番号が得点になる。

まず $m=1,2$ の場合を考える。この得点になるには、最初に1または2を引き、その後の2回目で $m$ を引く必要がある。したがって $$P(B=m)=\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{2}{n^2}$$ である。

次に $3\leqq m\leqq n$ の場合を考える。このとき、最初に $m$ を引く場合と、最初に1または2を引いてから2回目に $m$ を引く場合がある。したがって $$P(B=m)=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{n+2}{n^2}$$ である。よって$$P(B=m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{n^2}}& (m=1,2),\\ {\displaystyle \frac{n+2}{n^2}}& (3\leqq m\leqq n)\end{array}$$である。

(2)
Aの得点は1から $n$ まで等確率である。Bの得点が $m$ であるとき、Aの得点よりBの得点が大きいのは、Aの得点が $1,2,\dots ,m-1$ のいずれかである場合なので、その確率は $\frac{m-1}{n}$ である。

したがって $$p_n=\sum _{m=1}^{n}P(B=m)\frac{m-1}{n}$$ である。(1)を代入すると、$m=1$ の項は0なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n}\{\frac{2}{n^2}+\sum _{m=3}^n\frac{n+2}{n^2}(m-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{n}\{\frac{2}{n^2}+\frac{n+2}{n^2}\sum _{m=3}^n(m-1)\}}\end{array}$$である。ここで $$\sum _{m=3}^n(m-1)=2+3+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}-1$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n^3}\{2+(n+2)(\frac{n(n-1)}{2}-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n^2+n-4}{2n^2}}\end{array}$$となる。よって $$p_n=\frac{n^2+n-4}{2n^2}$$ である。

(1) でBの得点分布を確認する。(2)では「最初から3以上を引く場合」と「1または2を引いて再抽選する場合」を分け、それぞれでBの得点より小さいAの得点の個数を直接足す。

(1)

$m=1,2$ のときは、最初に1または2を引き、再抽選で $m$ を引く必要があるので$$P(B=m)=\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{2}{n^2}\mathrm{.}$$$3\leqq m\leqq n$ のときは、最初に $m$ を引く場合も加わるから$$P(B=m)=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{n+2}{n^2}\mathrm{.}$$(2)

最初の抽選でBが $m\geqq 3$ を引き、かつAの得点が $m$ 未満となる寄与は$$\frac{1}{n^2}\sum _{m=3}^n(m-1)\mathrm{.}$$一方、Bが最初に1または2を引いて再抽選へ進む確率は $2\mathrm{/}n$ であり、その後の得点を $m$ とすると寄与は$$\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n^2}\sum _{m=1}^n(m-1)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n^2}\{\frac{n(n-1)}{2}-1\}+\frac{2}{n^3}\cdot \frac{n(n-1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n^2+n-4}{2n^2}\mathrm{.}}\end{array}$$