北海道大学 2019年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$t$ を $0 < t < 1$ を満たす実数とする。0， $\frac{1}{t}$ 以外のすべての実数 $x$ で定義された関数

f (x) = \frac{x + t}{x ( 1 - t x )}

を考える。

(1) $f (x)$ は極大値と極小値を1つずつもつことを示せ。

(2) $f (x)$ の極大値を与える $x$ の値を $α$ ，極小値を与える $x$ の値を $β$ とし，座標平面上に2点 $P (α, f (α))$ ， $Q (β, f (β))$ をとる。 $t$ が $0 < t < 1$ を満たしながら変化するとき，線分 $P Q$ の中点 $M$ の軌跡を求めよ。

出典：北海道大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

解法1（根の和・積で中点を求める）

まず定義域を意識して微分し、 $f^{'} (x)$ の符号を決める二次式 $x^{2} + 2 t x - 1$ の2解を調べる。負の解は0より左、正の解は $0$ と $1/ t$ の間にあるので、それぞれ極大・極小になる。中点の軌跡では、2つの極値点の $x$ 座標の和と、対応する $f$ の値の和を、根の和・積 $α + β = - 2 t, α β = - 1$ で整理する。

解法2（停留点での関数値を簡約する）

微分して2つの停留点を求める。停留点が満たす二次方程式から $t$ を消去すると $f (x) = 1/ x^{2}$ と簡単になるため、極値の和を根の和・積だけで計算する。

解答

解法1（根の和・積で中点を求める）

(1)

$f (x) = \frac{x + t}{x ( 1 - t x )}$ であり、定義域は $x \neq = 0, \frac{1}{t}$ である。微分すると

f^{'} (x) = \frac{x ( 1 - t x ) - ( x + t ) ( 1 - 2 t x )}{x ^{2} ( 1 - t x ) ^{2}} = \frac{t ( x ^{2} + 2 t x - 1 )}{x ^{2} ( 1 - t x ) ^{2}}

である。

分母は定義域で正であり、 $t > 0$ だから、符号は $x^{2} + 2 t x - 1$ で決まる。この二次式の解は $x = - t \pm t^{2} + 1$ である。ここで $α = - t - t^{2} + 1 < 0, β = - t + t^{2} + 1 > 0$ とおく。さらに $β = \frac{1}{t + t ^{2} + 1} < 1 < \frac{1}{t}$ である。

したがって符号変化は、定義域の各区間で

(- \infty, α) : +, (α, 0) : -, (0, β) : -, (β, \frac{1}{t}) : +, (\frac{1}{t}, \infty) : +

となる。よって $x = α$ で極大、 $x = β$ で極小をとる。したがって $f (x)$ は極大値と極小値を1つずつもつ。

(2)

(1)より、極大値を与える $x$ の値は $α = - t - t^{2} + 1$ であり、極小値を与える $x$ の値は $β = - t + t^{2} + 1$ である。したがって $\frac{α + β}{2} = - t$ である。

次に $f (α) + f (β)$ を求める。 $α, β$ は方程式 $x^{2} + 2 t x - 1 = 0$ の2解なので $α + β = - 2 t, α β = - 1$ である。これを用いると

f (α) + f (β) = \frac{α + t}{α ( 1 - t α )} + \frac{β + t}{β ( 1 - tβ )} = 4 t^{2} + 2

である。したがって、線分 $P Q$ の中点 $M (X, Y)$ は $X = - t, Y = \frac{f ( α ) + f ( β )}{2} = 2 t^{2} + 1$ を満たす。 $0 < t < 1$ より $- 1 < X < 0$ であり、 $t = - X$ だから $Y = 2 X^{2} + 1$ である。よって求める軌跡は $Y = 2 X^{2} + 1, - 1 < X < 0$ で表される放物線の一部である。

解法2（停留点での関数値を簡約する）

(1)

f^{'} (x) = \frac{t ( x ^{2} + 2 t x - 1 )}{x ^{2} ( 1 - t x ) ^{2}} .

分母は定義域で正であり、分子の二次式の2解は

α = - t - t^{2} + 1 < 0, β = - t + t^{2} + 1 .

さらに

0 < β = \frac{1}{t + t ^{2} + 1} < 1 < \frac{1}{t} .

したがって $f^{'}$ は $α$ で正から負、 $β$ で負から正へ変わるので、 $x = α$ で極大、 $x = β$ で極小を取る。

(2)

停留点 $x$ は

x^{2} + 2 t x - 1 = 0

を満たすから

t = \frac{1 - x ^{2}}{2 x} .

これを $f (x)$ に代入すると

x + t = \frac{x ^{2} + 1}{2 x}, 1 - t x = \frac{x ^{2} + 1}{2}

より

f (x) = \frac{1}{x ^{2}} .

一方、 $α + β = - 2 t, α β = - 1$ である。中点 $M (X, Y)$ について

X = \frac{α + β}{2} = - t

であり、

Y = \frac{1}{2} (\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}) = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{2 ( α β ) ^{2}} = \frac{( α + β ) ^{2} - 2 α β}{2} = 2 t^{2} + 1.

よって

Y = 2 X^{2} + 1, - 1 < X < 0

である。

北海道大学 2019年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1（根の和・積で中点を求める）

解法2（停留点での関数値を簡約する）

解答

解法1（根の和・積で中点を求める）

(1)

(2)

解法2（停留点での関数値を簡約する）

(1)

(2)

北海道大学 2019年度
理系数学前期第3問