北海道大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$f(x)=\frac{x+t}{x(1-tx)}$$ であり、定義域は $x\mathrm{\ne }0,\frac{1}{t}$ である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{x(1-tx)-(x+t)(1-2tx)}{x^2(1-tx{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{t(x^2+2tx-1)}{x^2(1-tx{)}^2}}\end{array}$$である。

分母は定義域で正であり、$t>0$ だから、符号は $x^2+2tx-1$ で決まる。この二次式の解は $$x=-t\pm \sqrt{t^2+1}$$ である。ここで $$\alpha =-t-\sqrt{t^2+1}<0,\beta =-t+\sqrt{t^2+1}>0$$ とおく。さらに $$\beta =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}<1<\frac{1}{t}$$ である。

したがって符号変化は、定義域の各区間で$$(-\mathrm{\infty },\alpha ):+,(\alpha ,0):-,(0,\beta ):-,(\beta ,\frac{1}{t}):+,(\frac{1}{t},\mathrm{\infty }):+$$となる。よって $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとる。したがって $f(x)$ は極大値と極小値を1つずつもつ。

(2)
(1)より、極大値を与える $x$ の値は $$\alpha =-t-\sqrt{t^2+1}$$ であり、極小値を与える $x$ の値は $$\beta =-t+\sqrt{t^2+1}$$ である。したがって $$\frac{\alpha +\beta }{2}=-t$$ である。

次に $f(\alpha )+f(\beta )$ を求める。$\alpha ,\beta$ は方程式 $x^2+2tx-1=0$ の2解なので $$\alpha +\beta =-2t,\alpha \beta =-1$$ である。これを用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\alpha )+f(\beta )}& {\displaystyle =\frac{\alpha +t}{\alpha (1-t\alpha )}+\frac{\beta +t}{\beta (1-t\beta )}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4t^2+2}\end{array}$$である。したがって、線分 $PQ$ の中点 $M(X,Y)$ は $$X=-t,Y=\frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}=2t^2+1$$ を満たす。 $0<t<1$ より $-1<X<0$ であり、$t=-X$ だから $Y=2X^2+1$ である。よって求める軌跡は $$Y=2X^2+1,-1<X<0$$ で表される放物線の一部である。

微分して2つの停留点を求める。停留点が満たす二次方程式から $t$ を消去すると $f(x)=1\mathrm{/}{x}^2$ と簡単になるため、極値の和を根の和・積だけで計算する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{t(x^2+2tx-1)}{x^2(1-tx{)}^2}\mathrm{.}$$分母は定義域で正であり、分子の二次式の2解は$$\alpha =-t-\sqrt{t^2+1}<0,\beta =-t+\sqrt{t^2+1}\mathrm{.}$$さらに$$0<\beta =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}<1<\frac{1}{t}\mathrm{.}$$したがって $f^{\mathrm{\prime }}$ は $\alpha$ で正から負、$\beta$ で負から正へ変わるので、$x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小を取る。

(2)

停留点 $x$ は$$x^2+2tx-1=0$$を満たすから$$t=\frac{1-x^2}{2x}\mathrm{.}$$これを $f(x)$ に代入すると$$x+t=\frac{x^2+1}{2x},1-tx=\frac{x^2+1}{2}$$より$$f(x)=\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$一方、$$\alpha +\beta =-2t,\alpha \beta =-1$$ である。中点 $M(X,Y)$ について$$X=\frac{\alpha +\beta }{2}=-t$$であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Y}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2(\alpha \beta {)}^2}=\frac{(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta }{2}=2t^2+1.}\end{array}$$よって$$Y=2X^2+1,-1<X<0$$である。