北海道大学 2019年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし， $a_{n} = n (n + 1)$ とする。さらに， $a_{n}$ と $a_{n + 3}$ の最大公約数を $d_{n}$ とする。

(1) $d_{n}$ は偶数であることを示せ。

(2) $d_{n}$ は8で割り切れないことを示せ。

(3) $p$ を5以上の素数とするとき， $d_{n}$ は $p$ で割り切れないことを示せ。

(4) $d_{n} ≦ 12$ を示せ。また， $d_{n} = 12$ となるような $n$ を1つ求めよ。

出典：北海道大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1（素因数ごとに指数を抑える）

$a_{n} = n (n + 1)$ と $a_{n + 3} = (n + 3) (n + 4)$ の共通因数を調べる。まずどちらも偶数であることを確認する。次に2の指数は、連続2整数の積では偶数側だけを見ればよいので、8で同時に割れないことを剰余で示す。5以上の素数は、 $n, n + 1$ と $n + 3, n + 4$ の剰余集合が重ならないことで除外する。最後に3の指数だけを9で確認し、素因数が2と3に限られ、指数も $2^{2} \cdot 3$ までであることから上限を得る。

解法2（最大公約数を12の約数に絞る）

2数の差 $a_{n + 3} - a_{n} = 6 (n + 2)$ を使って最大公約数を簡約する。さらに $n (n + 1)$ と $n + 2$ の最大公約数が2の約数であることから、最初に $d_{n} ∣ 12$ を導き、各小問を一気に処理する。

解答

解法1（素因数ごとに指数を抑える）

(1)

$a_{n} = n (n + 1), a_{n + 3} = (n + 3) (n + 4)$ である。連続する2整数の積は必ず偶数なので、 $a_{n}$ も $a_{n + 3}$ も偶数である。したがって、それらの最大公約数 $d_{n}$ も偶数である。

(2)

8で割った余りを考える。連続する2整数 $n, n + 1$ の一方は奇数であるから、 $n (n + 1)$ が8で割り切れるためには、偶数である方が8で割り切れる必要がある。

もし $n$ が偶数なら、 $n + 4$ も偶数であり、 $a_{n}$ と $a_{n + 3}$ の偶数因子はそれぞれ $n$ と $n + 4$ である。8で見れば、数が4だけずれているので、この2つがともに8の倍数になることはない。

もし $n$ が奇数なら、 $n + 1$ と $n + 3$ が偶数であり、これらは2だけずれている。したがって、この2つがともに8の倍数になることもない。

よって $a_{n}$ と $a_{n + 3}$ がともに8で割り切れることはない。したがって、 $d_{n}$ は8で割り切れない。

(3)

$p$ を5以上の素数とする。仮に $p$ が $d_{n}$ を割り切るとすると、 $n (n + 1) \equiv 0 (mod p), (n + 3) (n + 4) \equiv 0 (mod p)$ である。第1式より $n \equiv 0, - 1 (mod p)$ である。一方、第2式より $n \equiv - 3, - 4 (mod p)$ である。

しかし $p ≧ 5$ なので、剰余 $0, - 1, - 3, - 4$ は法 $p$ で互いに重ならない。したがって両方の条件を同時に満たす $n$ は存在しない。ゆえに、 $d_{n}$ は $p$ で割り切れない。

(4)

(3)より、 $d_{n}$ の素因数のうち5以上の素数は現れない。したがって素因数は2と3だけである。

(2)より $d_{n}$ は8では割り切れないので、2の指数は高々2である。次に9で割り切れるかを調べる。互いに連続する2整数は互いに素なので、 $n (n + 1)$ が9で割り切れるには $n \equiv 0, - 1 (mod 9)$ でなければならない。同様に、 $(n + 3) (n + 4)$ が9で割り切れるには $n \equiv - 3, - 4 (mod 9)$ でなければならない。これらの剰余は重ならないので、 $a_{n}$ と $a_{n + 3}$ がともに9で割り切れることはない。よって3の指数は高々1である。

以上より $d_{n} ≦ 2^{2} \cdot 3 = 12$ である。実際に $n = 8$ とすると $a_{8} = 8 \cdot 9 = 72, a_{11} = 11 \cdot 12 = 132$ であり、 $g cd (72, 132) = 12$ である。したがって $d_{n} ≦ 12, d_{8} = 12$ である。

解法2（最大公約数を12の約数に絞る）

(1)

$n (n + 1)$ と $(n + 3) (n + 4)$ はどちらも連続2整数の積なので偶数である。したがって $d_{n}$ も偶数である。

以下、

A = n (n + 1), B = (n + 3) (n + 4)

とおく。差を取ると

B - A = 6 (n + 2)

だから

d_{n} = g cd (A, B) = g cd (A, 6 (n + 2)) .

また、法 $n + 2$ で $n \equiv - 2, n + 1 \equiv - 1$ より

A = n (n + 1) \equiv 2 (mod n + 2) .

したがって $h = g cd (A, n + 2)$ は2の約数である。 $A = h A_{0}, n + 2 = h N_{0}$ とし $g cd (A_{0}, N_{0}) = 1$ とすれば、 $A_{0}$ と $6 N_{0}$ の共通因数は6の約数である。よって

d_{n} ∣ 6 h, h ∣ 2

であり、

d_{n} ∣ 12

を得る。

(2)

$d_{n} ∣ 12$ であり、12は8で割り切れない。よって $d_{n}$ も8で割り切れない。

(3)

5以上の素数 $p$ は12を割らない。 $d_{n} ∣ 12$ だから、 $p ∤ d_{n}$ である。

(4)

$d_{n}$ は正の12の約数なので

d_{n} ≦ 12.

実際、 $n = 8$ のとき

a_{8} = 8 \cdot 9 = 72, a_{11} = 11 \cdot 12 = 132

であり、

d_{8} = g cd (72, 132) = 12.

北海道大学 2019年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1（素因数ごとに指数を抑える）

解法2（最大公約数を12の約数に絞る）

解答

解法1（素因数ごとに指数を抑える）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（最大公約数を12の約数に絞る）

(1)

(2)

(3)

(4)

北海道大学 2019年度
理系数学前期第2問