問題
を正の実数とする。座標平面上に直線と放物線がある。との交点のうち座標の小さい方をP，大きい方をQとする。さらに，線分PQの垂直二等分線をとし，との交点のうち座標の小さい方をR，大きい方をSとする。
(1) 線分PQの中点Mの座標をを用いて表せ。
(2) が正の実数を動くとき，線分RSの中点Nの座標が最小となるの値を求めよ。また，そのときのPとQの座標を求めよ。
方針
解法1
交点の横座標を直接求めず、二次方程式の2解として扱う。まず直線と放物線の交点の横座標について、和と積を出し、中点Mを求める。垂直二等分線mは、PQの傾きがkであることから傾きがで、Mを通る直線として書ける。mと放物線の交点R,Sについても解と係数の関係を使い、Nのy座標をの平均として表す。最後はの等号条件からkを決め、P,Qの座標を具体化する。
解法2（放物線の弦の中点を傾きから読む）
放物線上の2点を結ぶ弦の傾きは、2点の横座標の和に等しい。この性質から、弦PQと弦RSの中点の横座標を、交点を解かずに直線の傾きだけで求める。中点Nは垂直二等分線m上にもあるので、その縦座標を直接計算し、相加平均と相乗平均の関係で最小化する。
解答
解法1
(1)
直線 と放物線 の交点の 座標は すなわち の解である。この2解を、小さい方から とおくと、解と係数の関係より である。
点 はどちらも直線 上にあるので、線分 の中点 も直線 上にある。したがって の 座標は であり、 座標は である。よって である。
(2)
直線 は そのものなので、その傾きは である。したがって、線分 の垂直二等分線 の傾きは である。 は を通るから であり、整理して となる。 と の交点 の 座標を とする。これらは すなわち の2解である。よって である。
点 は放物線上にあるから、座標は である。したがって中点 の 座標は である。ここに上の関係を代入して を得る。 なので であり、等号は 、すなわち のときに限る。したがって の 座標が最小となるのは のときである。
このとき交点の 座標は の2解なので である。 は 座標が小さい方、 は大きい方であり、直線は だから
である。
解法2（放物線の弦の中点を傾きから読む）
(1)
放物線 上の2点 を結ぶ直線の傾きは
である。したがって、弦の傾きが なら、その中点の横座標は である。
弦 は直線 上にあり、その傾きは だから、中点 の横座標は である。さらに より
を得る。
(2)
垂直二等分線 の傾きは であり、上の点 を通るから
である。弦 の傾きが なので、同じ弦の中点の性質から の横座標は である。点 は 上にあるため、その縦座標は
となる。
ここで より
であり、等号は のときに限る。よって が最小となるのは である。このとき の横座標は の2解だから
である。
