北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $l:y=kx+1$ と放物線 $C:y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2=kx+1$ すなわち $x^2-kx-1=0$ の解である。この2解を、小さい方から $u,v$ とおくと、解と係数の関係より $u+v=k,uv=-1$ である。

点 $P,Q$ はどちらも直線 $l$ 上にあるので、線分 $PQ$ の中点 $M$ も直線 $l$ 上にある。したがって $M$ の $x$ 座標は $$\frac{u+v}{2}=\frac{k}{2}$$ であり、$y$ 座標は $$k\cdot \frac{k}{2}+1=\frac{k^2}{2}+1$$ である。よって $M(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2}+1)$ である。

(2)
直線 $PQ$ は $l$ そのものなので、その傾きは $k$ である。したがって、線分 $PQ$ の垂直二等分線 $m$ の傾きは $-\frac{1}{k}$ である。$m$ は $M(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2}+1)$ を通るから $$y-(\frac{k^2}{2}+1)=-\frac{1}{k}(x-\frac{k}{2})$$ であり、整理して $$y=-\frac{1}{k}x+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}$$ となる。 $m$ と $C:y=x^2$ の交点 $R,S$ の $x$ 座標を $r,s$ とする。これらは $$x^2=-\frac{1}{k}x+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}$$ すなわち $$x^2+\frac{1}{k}x-\frac{k^2+3}{2}=0$$ の2解である。よって $$r+s=-\frac{1}{k},rs=-\frac{k^2+3}{2}$$ である。

点 $R,S$ は放物線上にあるから、座標は $(r,r^2),(s,s^2)$ である。したがって中点 $N$ の $y$ 座標は $$\frac{r^2+s^2}{2}=\frac{(r+s{)}^2-2rs}{2}$$ である。ここに上の関係を代入して $$\frac{r^2+s^2}{2}=\frac{\frac{1}{k^2}+k^2+3}{2}$$ を得る。 $k>0$ なので $k^2+\frac{1}{k^2}\geqq 2$ であり、等号は $k^2=1$、すなわち $k=1$ のときに限る。したがって $N$ の $y$ 座標が最小となるのは $k=1$ のときである。

このとき交点の $x$ 座標は $x^2-x-1=0$ の2解なので $$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$ である。$P$ は $x$ 座標が小さい方、$Q$ は大きい方であり、直線は $y=x+1$ だから$$P(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}),Q(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2})$$である。

放物線上の2点を結ぶ弦の傾きは、2点の横座標の和に等しい。この性質から、弦PQと弦RSの中点の横座標を、交点を解かずに直線の傾きだけで求める。中点Nは垂直二等分線m上にもあるので、その縦座標を直接計算し、相加平均と相乗平均の関係で最小化する。

(1)
放物線 $y=x^2$ 上の2点 $A(u,u^2),B(v,v^2)$ を結ぶ直線の傾きは$$\frac{v^2-u^2}{v-u}=u+v$$である。したがって、弦の傾きが $p$ なら、その中点の横座標は $p\mathrm{/}2$ である。

弦 $PQ$ は直線 $l$ 上にあり、その傾きは $k$ だから、中点 $M$ の横座標は $k\mathrm{/}2$ である。さらに $M\in l$ より$$M(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2}+1)$$を得る。

(2)
垂直二等分線 $m$ の傾きは $-1\mathrm{/}k$ であり、上の点 $M$ を通るから$$m:y=-\frac{x}{k}+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}$$である。弦 $RS$ の傾きが $-1\mathrm{/}k$ なので、同じ弦の中点の性質から $N$ の横座標は $-1\mathrm{/}(2k)$ である。点 $N$ は $m$ 上にあるため、その縦座標は$$y_N=-\frac{1}{k}(-\frac{1}{2k})+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(k^2+\frac{1}{k^2}+3)$$となる。

ここで $k>0$ より$$k^2+\frac{1}{k^2}\geqq 2$$であり、等号は $k=1$ のときに限る。よって $y_N$ が最小となるのは $k=1$ である。このとき $P,Q$ の横座標は $x^2-x-1=0$ の2解だから$$P(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}),Q(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2})$$である。