問題
座標平面上に2つの放物線とがある。
(1) との両方に接する直線をすべて求めよ。
(2) (1)で求めた直線のうち傾きが負であるものをとする。，軸およびが囲む部分の面積を求めよ。
方針
解法1
共通接線の接点をそれぞれの放物線上に置き、接線の傾きと切片が一致する条件を作る。のでの接線、のでの接線を並べ、傾きの一致からbをaで表して切片条件へ代入する。(2)では傾きが負の接線を選び、接点からx軸との交点までの区間と、x軸との交点から原点までの区間に分けて、上側の曲線を確認して積分する。
解法2（傾きと切片の接線条件）
共通接線を最初からと置く。各放物線との交点方程式が重解をもつ条件を、平方完成によって傾きpと切片qの関係へ直す。(2)の面積は、放物線下の面積から接線とx軸が作る三角形を引くと一度の積分で求められる。
解答
解法1
(1)
の における接線を求める。導関数は であるから、接線は すなわち である。
次に の における接線を求める。導関数は なので、接線は であり、整理して である。
これらが同じ直線になるためには、傾きと切片がそれぞれ一致すればよい。したがって である。第1式から であり、これを第2式に代入すると である。両辺を整理して となる。よって である。
それぞれ接線 に代入すると、共通接線は である。
(2)
傾きが負であるものは である。この直線は と で接し、 軸とは より で交わる。
求める図形は、 では上側が 、下側が である。また では上側が 、下側が 軸である。したがって面積は
である。
第1の積分は
である。第2の積分は
である。よって求める面積は である。
別解。(1)は共通接線を とおいても求められる。 に接する条件は、方程式 が重解をもつことなので である。 に接する条件は、 が重解をもつことなので である。この2式を連立しても、 が得られ、同じ2本の共通接線に至る。
解法2（傾きと切片の接線条件）
(1)
共通接線を とする。 との交点は
を満たす。この左辺を平方完成すると
となるから、接する条件は
である。
また
である。 と置いて直線と連立すると
となる。これが重解をもつ条件は
である。ここへ を代入すると
を得る。したがって
であり、共通接線は
である。
(2)
傾きが負の接線は である。 との接点は 、 軸との交点は である。求める領域は、 における放物線下の領域から、接線と 軸が作る三角形を除いたものと見られる。よって面積は
である。
