北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $C_1:y=2x^2$ の $x=a$ における接線を求める。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=4x$ であるから、接線は $y-2a^2=4a(x-a)$ すなわち $y=4ax-2a^2$ である。

次に $$C_2:y=-x^2+2x-\frac{19}{8}$$ の $x=b$ における接線を求める。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-2x+2$ なので、接線は $$y-(-b^2+2b-\frac{19}{8})=(-2b+2)(x-b)$$ であり、整理して $$y=(-2b+2)x+b^2-\frac{19}{8}$$ である。

これらが同じ直線になるためには、傾きと切片がそれぞれ一致すればよい。したがって $$4a=-2b+2,-2a^2=b^2-\frac{19}{8}$$ である。第1式から $b=1-2a$ であり、これを第2式に代入すると $$-2a^2=(1-2a{)}^2-\frac{19}{8}$$ である。両辺を整理して $48a^2-32a-11=0$ となる。よって $$a=\frac{11}{12},a=-\frac{1}{4}$$ である。

それぞれ接線 $y=4ax-2a^2$ に代入すると、共通接線は $$y=\frac{11}{3}x-\frac{121}{72},y=-x-\frac{1}{8}$$ である。

(2)
傾きが負であるものは $l:y=-x-\frac{1}{8}$ である。この直線は $C_1$ と $x=-\frac{1}{4}$ で接し、$x$ 軸とは $-x-\frac{1}{8}=0$ より $x=-\frac{1}{8}$ で交わる。

求める図形は、$$-\frac{1}{4}\leqq x\leqq -\frac{1}{8}$$ では上側が $C_1:y=2x^2$、下側が $l:y=-x-\frac{1}{8}$ である。また $-\frac{1}{8}\leqq x\leqq 0$ では上側が $C_1$、下側が $x$ 軸である。したがって面積は$${\int }_{-\frac{1}{4}}^{-\frac{1}{8}}\{2x^2-(-x-\frac{1}{8})\}dx+{\int }_{-\frac{1}{8}}^{0}2x^{2}dx$$である。

第1の積分は$${\int }_{-\frac{1}{4}}^{-\frac{1}{8}}(2x^2+x+\frac{1}{8})dx={[\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{8}x]}_{-\frac{1}{4}}^{-\frac{1}{8}}=\frac{1}{768}$$である。第2の積分は$${\int }_{-\frac{1}{8}}^{0}2x^{2}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^3\right]}_{-\frac{1}{8}}^0=\frac{1}{768}$$である。よって求める面積は $$\frac{1}{768}+\frac{1}{768}=\frac{1}{384}$$ である。

別解。(1)は共通接線を $y=px+q$ とおいても求められる。$C_1$ に接する条件は、方程式 $2x^2=px+q$ が重解をもつことなので $p^2+8q=0$ である。$C_2$ に接する条件は、$$-x^2+2x-\frac{19}{8}=px+q$$ が重解をもつことなので $$(2-p{)}^2-4(q+\frac{19}{8})=0$$ である。この2式を連立しても、$$p=\frac{11}{3},-1$$ が得られ、同じ2本の共通接線に至る。

共通接線を最初から$y=px+q$と置く。各放物線との交点方程式が重解をもつ条件を、平方完成によって傾きpと切片qの関係へ直す。(2)の面積は、放物線下の面積から接線とx軸が作る三角形を引くと一度の積分で求められる。

(1)
共通接線を $y=px+q$ とする。$C_1$ との交点は$$2x^2-px-q=0$$を満たす。この左辺を平方完成すると$$2{(x-\frac{p}{4})}^2-\frac{p^2}{8}-q$$となるから、接する条件は$$q=-\frac{p^2}{8}$$である。

また$$C_2:y=-(x-1{)}^2-\frac{11}{8}$$である。$z=x-1$ と置いて直線と連立すると$$z^2+pz+p+q+\frac{11}{8}=0$$となる。これが重解をもつ条件は$$p^2-4(p+q+\frac{11}{8})=0$$である。ここへ $q=-p^2\mathrm{/}8$ を代入すると$$3p^2-8p-11=(3p-11)(p+1)=0$$を得る。したがって$$(p,q)=(\frac{11}{3},-\frac{121}{72}),(-1,-\frac{1}{8})$$であり、共通接線は$$y=\frac{11}{3}x-\frac{121}{72},y=-x-\frac{1}{8}$$である。

(2)
傾きが負の接線は $l:y=-x-1\mathrm{/}8$ である。$C_1$ との接点は $x=-1\mathrm{/}4$、$x$ 軸との交点は $x=-1\mathrm{/}8$ である。求める領域は、$-1\mathrm{/}4\leqq x\leqq 0$ における放物線下の領域から、接線と $x$ 軸が作る三角形を除いたものと見られる。よって面積は$${\int }_{-1\mathrm{/}4}^{0}2x^{2}dx-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{96}-\frac{1}{128}=\frac{1}{384}$$である。