北海道大学 2020年度
文系数学 前期 第3問

解答

解法1

(1)

最大公約数が3となるには、すべての出目が3で割り切れなければならない。さいころの目のうち3で割り切れるものは $3,6$ の2つである。

ただし、すべての出目が6である場合には、最大公約数は6になるので除かなければならない。逆に、出目がすべて3または6であり、少なくとも1回は3が出れば、すべての出目に共通する最大の約数は3である。

したがって条件をみたす出方は $2^n-1$ 通りである。全体は $6^n$ 通りだから、求める確率は $\frac{2^n-1}{6^n}$ である。

(2)

最大公約数が1である確率は、余事象を数えるとよい。最大公約数が1でないとは、すべての出目が2以上の共通の約数をもつということである。さいころの目 $1,2,3,4,5,6$ で考えれば、その共通素因数は $2,3,5$ のいずれかである。

すべての出目が2の倍数である出方は、各回が $2,4,6$ の3通りなので $3^n$ 通りである。すべての出目が3の倍数である出方は、各回が $3,6$ の2通りなので $2^n$ 通りである。すべての出目が5の倍数である出方は、すべて5の場合だけなので1通りである。

重なりを調べると、2の倍数かつ3の倍数である目は6だけなので、すべて6の場合が1通り重複している。2の倍数かつ5の倍数、3の倍数かつ5の倍数であるさいころの目は存在しない。したがって最大公約数が1でない出方は $3^n+2^n+1-1=3^n+2^n$ 通りである。

よって最大公約数が1となる確率は $\frac{6^n-(3^n+2^n)}{6^n}=\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}$ である。

解法2（最大公約数ごとに全事象を分割）

(1)

最大公約数が3である出方は、各回が $3,6$ のいずれかで、すべて6ではない出方である。したがって出方は $2^n-1$ 通りで、確率は

である。

(2)

出た目の最大公約数が $d$ である出方の個数を $N_d$ とする。最大公約数が2であるには、各回が $2,4,6$ のいずれかであり、最大公約数4となる「すべて4」と、最大公約数6となる「すべて6」を除けばよい。よって

である。同様に

である。これらは最大公約数の値が異なるので互いに重ならない。したがって最大公約数が1でない出方の総数は

となる。全 $6^n$ 通りから引けば、求める確率は

である。