北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $t=\sin \theta -\cos \theta$ とおく。両辺を2乗すると $$t^2={\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1-\sin 2\theta$$ である。したがって $\sin 2\theta =1-t^2$ である。また $$-\sin \theta +\cos \theta =-t$$ なので$$f(\theta )=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2\theta -\sin \theta +\cos \theta =\frac{1-t^2}{\sqrt{2}}-t$$である。

(2) $$t=\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$$ である。$0\leqq \theta \leqq \pi$ では $$-\frac{\pi }{4}\leqq \theta -\frac{\pi }{4}\leqq \frac{3\pi }{4}$$ だから $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ である。 $$F(t)=\frac{1-t^2}{\sqrt{2}}-t$$ とおくと、これは上に凸の二次関数である。平方完成すると$$F(t)=-\frac{1}{\sqrt{2}}{(t+\frac{\sqrt{2}}{2})}^2+\frac{3\sqrt{2}}{4}$$であるから、最大値は $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ であり、このとき $$t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ である。すなわち $$\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ より $$\sin (\theta -\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$$ である。範囲 $$-\frac{\pi }{4}\leqq \theta -\frac{\pi }{4}\leqq \frac{3\pi }{4}$$ においてこれをみたすのは $$\theta -\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}$$ だけなので $$\theta =\frac{\pi }{12}$$ である。

最小値は、上に凸の二次関数を区間 $[-1,\sqrt{2}]$ で見るので、端点で比較すればよい。 $$F(-1)=1,F(\sqrt{2})=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ だから、最小値は $-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ であり、このとき $t=\sqrt{2}$ である。したがって $$\sin (\theta -\frac{\pi }{4})=1$$ より $$\theta =\frac{3\pi }{4}$$ である。

(3)
まず、$t$ の値に対して対応する $\theta$ の個数を確認する。$$t=\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$$ で、$\theta -\frac{\pi }{4}$ は $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ を動く。したがって $-1\leqq t<1$ では対応する $\theta$ は1個、$1\leqq t<\sqrt{2}$ では対応する $\theta$ は2個、$t=\sqrt{2}$ では1個である。

次に $F(t)=a$ の解の位置を調べる。$F(t)$ は $$t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ で最大値 $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ をとり、そこから右側では単調減少する。また $$F(-1)=1,F(1)=-1,F(\sqrt{2})=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ である。 $$1<a<\frac{3\sqrt{2}}{4}$$ のとき、$F(t)=a$ は $-1<t<1$ に2つの解をもち、それぞれ1個ずつの $\theta$ を与えるので、解はちょうど2個である。$a=1$ のときも、$t=-1$ と $-1<t<1$ のもう1つの解に対応して、やはり $\theta$ はちょうど2個である。

一方、$$-\frac{3\sqrt{2}}{2}<a<-1$$ のとき、$F(t)=a$ は $1<t<\sqrt{2}$ に1つの解をもち、その $t$ に対応する $\theta$ が2個ある。$a=-1$ のときは $t=1$ となり、これに対応する $\theta$ が2個ある。

以上より、$f(\theta )=a$ となる $\theta$ がちょうど2個であるような $a$ の範囲は $$-\frac{3\sqrt{2}}{2}<a\leqq -1,1\leqq a<\frac{3\sqrt{2}}{4}$$ である。

置換後の二次関数を使わず、元の関数を微分して増減区間を直接決める。$\phi =\theta -\pi \mathrm{/}4$ と置くと導関数が積に因数分解でき、極大点・極小点と端点の値から、水平線との交点数をそのまま数えられる。

(1)
$t=\sin \theta -\cos \theta$ とおくと$$t^2=1-\sin 2\theta$$であるから$$f(\theta )=\frac{1-t^2}{\sqrt{2}}-t$$となる。

(2)
元の関数を微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\sqrt{2}\cos 2\theta -\sin \theta -\cos \theta$$である。ここで $\phi =\theta -\pi \mathrm{/}4$ と置けば$$\cos 2\theta =-\sin 2\phi ,\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\cos \phi$$より$$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-\sqrt{2}\cos \phi (2\sin \phi +1)$$と因数分解できる。範囲は $$-\pi \mathrm{/}4\leqq \phi \leqq 3\pi \mathrm{/}4$$ なので、内部の停留点は$$\theta =\frac{\pi }{12},\theta =\frac{3\pi }{4}$$である。符号を調べると、$f$ は $[0,\pi \mathrm{/}12]$ で増加、$[\pi \mathrm{/}12,3\pi \mathrm{/}4]$ で減少、$[3\pi \mathrm{/}4,\pi ]$ で増加する。主要な値は$$f(0)=1,f\left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{4},f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{2},f(\pi )=-1$$である。したがって最大値は $3\sqrt{2}\mathrm{/}4$ で $\theta =\pi \mathrm{/}12$、最小値は $-3\sqrt{2}\mathrm{/}2$ で $\theta =3\pi \mathrm{/}4$ のときである。

(3)
上の3つの単調区間で水平線 $y=a$ との交点を数える。極小値より大きく $-1$ 以下なら、減少区間と最後の増加区間に1個ずつ交点がある。また、$1$ 以上で極大値より小さければ、最初の増加区間と中央の減少区間に1個ずつ交点がある。端点 $a=-1,1$ は含み、極値そのものは接点1個だけなので含まない。よって$$-\frac{3\sqrt{2}}{2}<a\leqq -1,1\leqq a<\frac{3\sqrt{2}}{4}$$である。