北海道大学 2020年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

関数

f (θ) = \frac{1}{2} sin 2 θ - sin θ + cos θ (0 ≦ θ ≦ π)

を考える。

(1) $t = sin θ - cos θ$ とおく。 $f (θ)$ を $t$ の式で表せ。

(2) $f (θ)$ の最大値と最小値，およびそのときの $θ$ の値を求めよ。

(3) $a$ を実数の定数とする。 $f (θ) = a$ となる $θ$ がちょうど2個であるような $a$ の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

解法1

$t = sin θ - cos θ$ により $sin 2 θ = 1 - t^{2}$ と変形し、 $f (θ)$ をtの二次関数 $F (t)$ に帰着する。次に $0 ≦ θ ≦ π$ におけるtの範囲と、同じtを与える $θ$ の個数を調べる。最大最小は $F (t)$ の頂点と端点で決まり、解の個数は $F (t) = a$ のt解の位置が $[- 1, 1)$ か $[1, 2)$ かで重みが変わることを使って数える。

解法2（導関数で増減を直接調べる）

置換後の二次関数を使わず、元の関数を微分して増減区間を直接決める。 $φ = θ - π /4$ と置くと導関数が積に因数分解でき、極大点・極小点と端点の値から、水平線との交点数をそのまま数えられる。

解答

解法1

(1)

$t = sin θ - cos θ$ とおく。両辺を2乗すると $t^{2} = sin^{2} θ - 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 - sin 2 θ$ である。したがって $sin 2 θ = 1 - t^{2}$ である。また $- sin θ + cos θ = - t$ なので

f (θ) = \frac{1}{2} sin 2 θ - sin θ + cos θ = \frac{1 - t ^{2}}{2} - t

である。

(2)

$t = sin θ - cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{4})$ である。 $0 ≦ θ ≦ π$ では $- \frac{π}{4} ≦ θ - \frac{π}{4} ≦ \frac{3 π}{4}$ だから $- 1 ≦ t ≦ 2$ である。 $F (t) = \frac{1 - t ^{2}}{2} - t$ とおくと、これは上に凸の二次関数である。平方完成すると

F (t) = - \frac{1}{2} (t + \frac{2}{2})^{2} + \frac{3 2}{4}

であるから、最大値は $\frac{3 2}{4}$ であり、このとき $t = - \frac{2}{2}$ である。すなわち $2 sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$ より $sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ である。範囲 $- \frac{π}{4} ≦ θ - \frac{π}{4} ≦ \frac{3 π}{4}$ においてこれをみたすのは $θ - \frac{π}{4} = - \frac{π}{6}$ だけなので $θ = \frac{π}{12}$ である。

最小値は、上に凸の二次関数を区間 $[- 1, 2]$ で見るので、端点で比較すればよい。 $F (- 1) = 1, F (2) = - \frac{3 2}{2}$ だから、最小値は $- \frac{3 2}{2}$ であり、このとき $t = 2$ である。したがって $sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$ より $θ = \frac{3 π}{4}$ である。

(3)

まず、 $t$ の値に対して対応する $θ$ の個数を確認する。 $t = 2 sin (θ - \frac{π}{4})$ で、 $θ - \frac{π}{4}$ は $[- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ を動く。したがって $- 1 ≦ t < 1$ では対応する $θ$ は1個、 $1 ≦ t < 2$ では対応する $θ$ は2個、 $t = 2$ では1個である。

次に $F (t) = a$ の解の位置を調べる。 $F (t)$ は $t = - \frac{2}{2}$ で最大値 $\frac{3 2}{4}$ をとり、そこから右側では単調減少する。また $F (- 1) = 1, F (1) = - 1, F (2) = - \frac{3 2}{2}$ である。 $1 < a < \frac{3 2}{4}$ のとき、 $F (t) = a$ は $- 1 < t < 1$ に2つの解をもち、それぞれ1個ずつの $θ$ を与えるので、解はちょうど2個である。 $a = 1$ のときも、 $t = - 1$ と $- 1 < t < 1$ のもう1つの解に対応して、やはり $θ$ はちょうど2個である。

一方、 $- \frac{3 2}{2} < a < - 1$ のとき、 $F (t) = a$ は $1 < t < 2$ に1つの解をもち、その $t$ に対応する $θ$ が2個ある。 $a = - 1$ のときは $t = 1$ となり、これに対応する $θ$ が2個ある。

以上より、 $f (θ) = a$ となる $θ$ がちょうど2個であるような $a$ の範囲は $- \frac{3 2}{2} < a ≦ - 1, 1 ≦ a < \frac{3 2}{4}$ である。

解法2（導関数で増減を直接調べる）

(1)

$t = sin θ - cos θ$ とおくと

t^{2} = 1 - sin 2 θ

であるから

f (θ) = \frac{1 - t ^{2}}{2} - t

となる。

(2)

元の関数を微分すると

f^{'} (θ) = 2 cos 2 θ - sin θ - cos θ

である。ここで $φ = θ - π /4$ と置けば

cos 2 θ = - sin 2 φ, sin θ + cos θ = 2 cos φ

より

f^{'} (θ) = - 2 cos φ (2 sin φ + 1)

と因数分解できる。範囲は $- π /4 ≦ φ ≦ 3 π /4$ なので、内部の停留点は

θ = \frac{π}{12}, θ = \frac{3 π}{4}

である。符号を調べると、 $f$ は $[0, π /12]$ で増加、 $[π /12, 3 π /4]$ で減少、 $[3 π /4, π]$ で増加する。主要な値は

f (0) = 1, f (\frac{π}{12}) = \frac{3 2}{4}, f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3 2}{2}, f (π) = - 1

である。したがって最大値は $32 /4$ で $θ = π /12$ 、最小値は $- 32 /2$ で $θ = 3 π /4$ のときである。

(3)

上の3つの単調区間で水平線 $y = a$ との交点を数える。極小値より大きく $- 1$ 以下なら、減少区間と最後の増加区間に1個ずつ交点がある。また、 $1$ 以上で極大値より小さければ、最初の増加区間と中央の減少区間に1個ずつ交点がある。端点 $a = - 1, 1$ は含み、極値そのものは接点1個だけなので含まない。よって

- \frac{3 2}{2} < a ≦ - 1, 1 ≦ a < \frac{3 2}{4}

である。

北海道大学 2020年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2（導関数で増減を直接調べる）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（導関数で増減を直接調べる）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2020年度
文系数学前期第2問