北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $S_0=0$ とおく。$n\geqq 2$ では $a_n=S_n-S_{n-1}$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\frac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+7\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n}{6}\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n}{6}\{(2n^2+9n+7)-(2n^2+3n-5)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(n+2)}\end{array}$$である。また $$a_1=S_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot 1\cdot 2\cdot 9=3$$ であり，$1(1+2)=3$ と一致する。したがって $a_n=n(n+2)$ である。

(2)

(1) より $$\frac{1}{a_k}=\frac{1}{k(k+2)}$$ である。部分分数分解すると $$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})$$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}\mathrm{.}}\end{array}$$1つの分数にまとめれば $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$$ である。