北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
漸化式より $$a_{n+1}-a_n=\frac{n}{5}-2=\frac{n-10}{5}$$ である。したがって、$n<10$ では $a_{n+1}<a_n$、$n=10$ では $a_{11}=a_{10}$、$n>10$ では $a_{n+1}>a_n$ である。

よって数列 $a_n$ は $a_{10}$ まで減少し、$a_{10}=a_{11}$ となった後、増加する。したがって $a_n$ が最小となる自然数 $n$ は $n=10,11$ である。

(2) $n\geqq 2$ のとき $$a_n=a_1+\sum _{j=1}^{n-1}(\frac{j}{5}-2)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =-15+\frac{1}{5}\cdot \frac{(n-1)n}{2}-2(n-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-15+\frac{n(n-1)}{10}-2n+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n^2-21n-130}{10}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n-26)(n+5)}{10}}\end{array}$$である。$n=1$ のときも $$\frac{(1-26)(1+5)}{10}=-15$$ となるので、一般項は $$a_n=\frac{(n-26)(n+5)}{10}$$ である。

(3) $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ とおく。部分和の増減は $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ で決まる。(2) より $$a_n=\frac{(n-26)(n+5)}{10}$$ であり、自然数 $n$ について $n+5>0$ だから、$a_n$ の符号は $n-26$ の符号で決まる。すなわち$$a_n<0(1\leqq n\leqq 25),a_{26}=0,a_n>0(n\geqq 27)$$である。

よって $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ は、$n+1\leqq 25$、すなわち $n\leqq 24$ で負、$n=25$ で0、$n\geqq 26$ で正となる。したがって $S_n$ は $S_{25}$ まで減少し、$S_{26}=S_{25}$ となった後、増加する。求める自然数 $n$ は $n=25,26$ である。

先に一般項と部分和を閉じた式で求め、最小候補との差を因数分解する。自然数が連続する2整数の間には入らないことを使えば、増減表を作らず等号成立位置まで一括して決定できる。

漸化式を $1$ から $n-1$ まで加えると$$a_n=-15+\sum _{j=1}^{n-1}(\frac{j}{5}-2)=\frac{(n-26)(n+5)}{10}\mathrm{.}$$これを用いて各問を処理する。

(1)
$a_{10}=a_{11}=-24$ であり、任意の自然数 $n$ について$$a_n-a_{10}=\frac{n^2-21n+110}{10}=\frac{(n-10)(n-11)}{10}\geqq 0.$$最後の不等式は、自然数 $n$ が $10$ と $11$ の間に入らないことによる。等号は $n=10,11$ のときに限る。よって最小となるのは $n=10,11$ である。

(2)
上で得た$$a_n=\frac{(n-26)(n+5)}{10}$$が一般項である。

(3)
$S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ とおくと$$S_n=\frac{1}{10}\sum _{k=1}^n(k^2-21k-130)=\frac{n(n^2-30n-421)}{30}\mathrm{.}$$特に $S_{25}=S_{26}=-455$ であり、$$S_n-S_{25}=\frac{n^3-30n^2-421n+13650}{30}=\frac{(n-25)(n-26)(n+21)}{30}\geqq 0.$$自然数 $n$ では $n+21>0$ かつ $(n-25)(n-26)\geqq 0$ である。等号は $n=25,26$ のときに限るから、部分和が最小となるのは $n=25,26$ である。