北海道大学 2022年度
文系数学 前期 第2問

解答

解法1

(1)

漸化式より $a_{n+1}-a_n=\frac{n}{5}-2=\frac{n-10}{5}$ である。したがって、$n<10$ では $a_{n+1}<a_n$、$n=10$ では $a_{11}=a_{10}$、$n>10$ では $a_{n+1}>a_n$ である。

よって数列 $a_n$ は $a_{10}$ まで減少し、$a_{10}=a_{11}$ となった後、増加する。したがって $a_n$ が最小となる自然数 $n$ は $n=10,11$ である。

(2)

$n\geqq 2$ のとき $a_n=a_1+{\sum }_{j=1}^{n-1}\left(\frac{j}{5}-2\right)$ である。したがって

である。$n=1$ のときも $\frac{(1-26)(1+5)}{10}=-15$ となるので、一般項は $a_n=\frac{(n-26)(n+5)}{10}$ である。

(3)

$S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ とおく。部分和の増減は $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ で決まる。(2) より $a_n=\frac{(n-26)(n+5)}{10}$ であり、自然数 $n$ について $n+5>0$ だから、$a_n$ の符号は $n-26$ の符号で決まる。すなわち

である。

よって $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ は、$n+1\leqq 25$、すなわち $n\leqq 24$ で負、$n=25$ で0、$n\geqq 26$ で正となる。したがって $S_n$ は $S_{25}$ まで減少し、$S_{26}=S_{25}$ となった後、増加する。求める自然数 $n$ は $n=25,26$ である。

別解（一般項・部分和の差を因数分解して一括比較）

漸化式を $1$ から $n-1$ まで加えると

これを用いて各問を処理する。

(1)

$a_{10}=a_{11}=-24$ であり、任意の自然数 $n$ について

最後の不等式は、自然数 $n$ が $10$ と $11$ の間に入らないことによる。等号は $n=10,11$ のときに限る。よって最小となるのは $n=10,11$ である。

(2)

上で得た

が一般項である。

(3)

$S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ とおくと

特に $S_{25}=S_{26}=-455$ であり、

自然数 $n$ では $n+21>0$ かつ $(n-25)(n-26)\geqq 0$ である。等号は $n=25,26$ のときに限るから、部分和が最小となるのは $n=25,26$ である。