北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$h(x)=\sin \frac{\pi x}{2}-x$$ とおく。$0<x<1$ において $$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{{\pi }^2}{4}\sin \frac{\pi x}{2}<0$$ である。また $h(0)=0,h(1)=0$ である。したがって、$h(x)$ のグラフは区間 $[0,1]$ で上に凸ではなく下にふくらみ、両端で0をとるので $h(x)>0(0<x<1)$ である。すなわち $$\sin \frac{\pi x}{2}>x(0<x<1)$$ が成り立つ。 $0<a_n<1$ と仮定すると、$$0<\frac{\pi a_n}{2}<\frac{\pi }{2}$$ だから $$0<a_{n+1}=\sin \frac{\pi a_n}{2}<1$$ であり、さらに上の不等式から $$a_{n+1}=\sin \frac{\pi a_n}{2}>a_n$$ である。$a_1=\alpha$ は $0<\alpha <1$ をみたすので、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $$0<a_n<1,a_{n+1}>a_n$$ が成り立つ。

(2) $$\varphi (x)=\frac{1-\sin (\pi x\mathrm{/}2)}{1-x}(0<x<1)$$ とおくと $b_n=\varphi (a_n)$ である。ここで $y=1-x$ とおくと$$\sin \frac{\pi x}{2}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi y}{2})=\cos \frac{\pi y}{2}$$であるから $$\varphi (x)=\frac{1-\cos (\pi y\mathrm{/}2)}{y}$$ である。 $$\psi (y)=\frac{1-\cos (\pi y\mathrm{/}2)}{y}(0<y<1)$$ とおく。$$u=\frac{\pi y}{2}$$ とすると、$$0<u<\frac{\pi }{2}$$ であり、${\psi }^{\mathrm{\prime }}(y)$ の符号は $u\sin u-(1-\cos u)$ の符号と同じである。そこで $G(u)=u\sin u+\cos u-1$ とおくと $$G^{\mathrm{\prime }}(u)=u\cos u>0(0<u<\frac{\pi }{2})$$ であり、$G(0)=0$ であるから $G(u)>0$ である。したがって ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(y)>0$ であり、$\psi (y)$ は $y$ について増加する。

一方 $y=1-x$ なので、$x$ が増加すると $y$ は減少する。よって $\varphi (x)$ は $x$ について減少する。(1)より $a_{n+1}>a_n$ であるから $$b_{n+1}=\varphi (a_{n+1})<\varphi (a_n)=b_n$$ である。

(3)
(1)より $\{a_n\}$ は単調増加であり、しかも $a_n<1$ で上に有界である。したがって極限 ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=L$ が存在し、$0<L\leqq 1$ である。漸化式の両辺の極限を取ると $$L=\sin \frac{\pi L}{2}$$ である。

もし $0<L<1$ なら、(1)で示した不等式から $$\sin \frac{\pi L}{2}>L$$ となり矛盾する。したがって $L=1$ である。

次に $$b_n=\frac{1-\sin (\pi a_n\mathrm{/}2)}{1-a_n}$$ である。$y_n=1-a_n$ とおくと、$a_n\to 1$ より $y_n\to 0+$ であり、$$b_n=\frac{1-\cos (\pi y_n\mathrm{/}2)}{y_n}$$ である。$$0<z<\frac{\pi }{2}$$ では $$0\leqq 1-\cos z\leqq \frac{z^2}{2}$$ が成り立つので、$$z=\frac{\pi y_n}{2}$$ として$$0\leqq b_n\leqq \frac{1}{y_n}\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{\pi y_n}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{8}{y}_n$$である。右辺は0に近づくから、はさみうちにより ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n=0$ である。以上より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0$$ である。

$f(x)=\sin (\pi x\mathrm{/}2)$が区間$[0,1]$で狭義凹関数であることを利用する。グラフは両端を結ぶ弦$y=x$より上にあるため反復列は増加する。また$b_n$は点$(a_n,f(a_n))$と固定点$(1,1)$を結ぶ割線の傾きであり、凹関数では左端を右へ動かすとこの傾きが減少する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{{\pi }^2}{4}\sin \frac{\pi x}{2}<0(0<x<1)$$だから、$f$ は $[0,1]$ で狭義凹関数である。また $f(0)=0,f(1)=1$ なので、そのグラフは両端を結ぶ弦 $y=x$ より上にある。したがって$$0<x<1⟹x<f(x)<1$$である。$0<a_1<1$ からこの関係を繰り返し用いれば、すべての $n$ について$$0<a_n<1,a_n<a_{n+1}$$を得る。

(2)
$f(1)=1$ より$$b_n=\frac{f(1)-f(a_n)}{1-a_n}$$である。これはグラフ上の2点 $(a_n,f(a_n))$, $(1,1)$ を結ぶ割線の傾きである。

狭義凹関数では $0<x<y<1$ に対して$$\frac{f(1)-f(y)}{1-y}<\frac{f(1)-f(x)}{1-x}$$が成り立つ。実際、$$y=(1-\lambda )x+\lambda \cdot 1$$ と書けば、狭義凹性から $$f(y)>(1-\lambda )f(x)+\lambda f(1)$$ となり、整理して上式を得る。(1)より $a_n<a_{n+1}$ だから$$b_{n+1}<b_n$$である。

(3)
$a_n$ は増加し、1を上界にもつので極限 $L$ が存在する。漸化式から $L=f(L)$ であるが、$0<L<1$ では $f(L)>L$ だから、$L=1$ でなければならない。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$$である。

さらに $b_n$ は $x=a_n$ における $f$ の左割線の傾きであり、$a_n\to 1-$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f(1)-f(x)}{1-x}=f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0$$となる。