北海道大学 2022年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$a$ は $a \neq = 1$ をみたす正の実数とする。 $x y$ 平面上の点 $P_{1}, P_{2}, \dots\dots, P_{n}, \dots\dots$ および $Q_{1}, Q_{2}, \dots\dots, Q_{n}, \dots\dots$ が，すべての自然数 $n$ について

P_{n} P_{n + 1} = (1 - a) P_{n} Q_{n}, Q_{n} Q_{n + 1} = (0, \frac{a ^{- n}}{1 - a})

をみたしているとする。また， $P_{n}$ の座標を $(x_{n}, y_{n})$ とする。

(1) $x_{n + 2}$ を $a, x_{n}, x_{n + 1}$ で表せ。

(2) $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ のとき，数列 ${x_{n}}$ の一般項を求めよ。

(3) $y_{1} = \frac{a}{( 1 - a ) ^{2}}, y_{2} - y_{1} = 1$ のとき，数列 ${y_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：北海道大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1

$Q_{n}$ の座標を補助的に置き、 $P_{n + 1} = a P_{n} + (1 - a) Q_{n}$ と $Q_{n + 1} - Q_{n} = (0, \frac{a ^{- n}}{1 - a})$ から $Q_{n}$ を消去する。 $x$ 座標では非同次項が出ず、特性方程式の解 $1, a$ で一般項を求める。 $y$ 座標では $a^{- n}$ の非同次項が残るので、 $C a^{- n}$ 型の特解を足してから初期条件を代入する。

別解（階差と1階漸化式への還元）

2階漸化式を特性方程式で解かず、階差へ落とす。 $x_{n}$ は等比階差、 $y_{n}$ は $y_{n + 1} - a y_{n}$ を新しい数列とみなして2回の等比和で処理する。

解答

解法1

(1)

$Q_{n}$ の座標を $(u_{n}, v_{n})$ とする。条件 $P_{n} P_{n + 1} = (1 - a) P_{n} Q_{n}$ より $P_{n + 1} = P_{n} + (1 - a) (Q_{n} - P_{n}) = a P_{n} + (1 - a) Q_{n}$ である。したがって $x$ 座標について $x_{n + 1} = a x_{n} + (1 - a) u_{n}$ である。

また、 $Q_{n} Q_{n + 1}$ の $x$ 成分は $0$ なので $u_{n + 1} = u_{n}$ である。よって $x_{n + 2} = a x_{n + 1} + (1 - a) u_{n + 1} = a x_{n + 1} + (1 - a) u_{n}$ である。一方、 $x_{n + 1} = a x_{n} + (1 - a) u_{n}$ から $(1 - a) u_{n} = x_{n + 1} - a x_{n}$ なので、これを代入して $x_{n + 2} = a x_{n + 1} + x_{n + 1} - a x_{n} = (a + 1) x_{n + 1} - a x_{n}$ を得る。

(2)

(1) より $x_{n + 2} = (a + 1) x_{n + 1} - a x_{n}$ である。特性方程式は $λ^{2} - (a + 1) λ + a = 0$ すなわち $(λ - 1) (λ - a) = 0$ である。 $a \neq = 1$ だから、 $x_{n} = A + B a^{n - 1}$ と表せる。

初期条件 $x_{1} = 0$ 、 $x_{2} = 1$ より $A + B = 0, A + B a = 1$ である。これを解いて $B = \frac{1}{a - 1}, A = - \frac{1}{a - 1}$ となる。したがって $x_{n} = \frac{a ^{n - 1} - 1}{a - 1}$ である。

(3)

$y$ 座標について考える。 $P_{n + 1} = a P_{n} + (1 - a) Q_{n}$ より $y_{n + 1} = a y_{n} + (1 - a) v_{n}$ である。また条件から $v_{n + 1} = v_{n} + \frac{a ^{- n}}{1 - a}$ である。したがって

y_{n + 2} = a y_{n + 1} + (1 - a) v_{n + 1} = a y_{n + 1} + (1 - a) v_{n} + a^{- n} = a y_{n + 1} + {y_{n + 1} - a y_{n}} + a^{- n}

である。よって $y_{n + 2} = (a + 1) y_{n + 1} - a y_{n} + a^{- n}$ を得る。

この非同次漸化式の同次部分の解は、(2) と同じく $A + B a^{n - 1}$ である。非同次項が $a^{- n}$ なので、特解を $C a^{- n}$ とおく。代入すると $C a^{- n - 2} - (a + 1) C a^{- n - 1} + a C a^{- n} = a^{- n}$ である。両辺に $a^{n + 2}$ をかけると $C {1 - a (a + 1) + a^{3}} = a^{2}$ であり、 $1 - a (a + 1) + a^{3} = (a - 1)^{2} (a + 1)$ だから $C = \frac{a ^{2}}{( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 )}$ である。したがって $y_{n} = A + B a^{n - 1} + \frac{a ^{2}}{( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 )} a^{- n}$ と表せる。

ここで

y_{1} = \frac{a}{( 1 - a ) ^{2}} = \frac{a}{( a - 1 ) ^{2}}, y_{2} = y_{1} + 1 = \frac{a}{( a - 1 ) ^{2}} + 1

である。これを上の式に代入して整理すると $A = 0, B = \frac{a ^{2}}{( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 )}$ となる。よって $y_{n} = \frac{a ^{2}}{( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 )} (a^{n - 1} + a^{- n})$ である。

別解（階差と1階漸化式への還元）

(1)

主解法と同様に $Q_{n} = (u_{n}, v_{n})$ と置けば

x_{n + 2} = (a + 1) x_{n + 1} - a x_{n} .

(2)

$d_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ と置くと、(1) より

d_{n + 1} = x_{n + 2} - x_{n + 1} = a (x_{n + 1} - x_{n}) = a d_{n} .

$d_{1} = x_{2} - x_{1} = 1$ だから $d_{n} = a^{n - 1}$ である。よって

x_{n} = x_{1} + j = 1 \sum n - 1 d_{j} = j = 1 \sum n - 1 a^{j - 1} = \frac{a ^{n - 1} - 1}{a - 1} .

(3)

$y_{n + 1} = a y_{n} + (1 - a) v_{n}$ と $v_{n + 1} - v_{n} = a^{- n} / (1 - a)$ から

{y_{n + 2} - a y_{n + 1}} - {y_{n + 1} - a y_{n}} = a^{- n} .

$z_{n} = y_{n + 1} - a y_{n}$ と置く。初期条件より

z_{1} = y_{2} - a y_{1} = 1 + (1 - a) y_{1} = \frac{1}{1 - a} .

したがって

z_{n} = z_{1} + j = 1 \sum n - 1 a^{- j} = \frac{a ^{1 - n}}{1 - a} .

すなわち

y_{n + 1} = a y_{n} + \frac{a ^{1 - n}}{1 - a} . (1)

ここで $t_{n} = y_{n} / a^{n - 1}$ と置き、(1) を $a^{n}$ で割ると

t_{n + 1} - t_{n} = \frac{a ^{1 - 2 n}}{1 - a} .

$t_{1} = y_{1} = a / (1 - a)^{2}$ だから、等比数列の和を用いて

t_{n} = \frac{a}{( 1 - a ) ^{2}} + \frac{1}{1 - a} j = 1 \sum n - 1 a^{1 - 2 j} = \frac{a ^{2}}{( 1 - a ) ^{2} ( a + 1 )} (1 + a^{1 - 2 n}) .

最後に $y_{n} = a^{n - 1} t_{n}$ を戻して

y_{n} = \frac{a ^{2}}{( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 )} (a^{n - 1} + a^{- n})

を得る。

北海道大学 2022年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

別解（階差と1階漸化式への還元）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

別解（階差と1階漸化式への還元）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2022年度
理系数学前期第2問