北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
定義より $$b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}$$ である。漸化式 $$a_{n+1}=3a_n-\frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$$ を両辺 $3^{n+1}$ で割ると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{3a_n}{3^{n+1}}-\frac{1}{n(n+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a_n}{3^n}-\frac{1}{n(n+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n-\frac{1}{n(n+1)}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$b_{n+1}=b_n-\frac{1}{n(n+1)}$$ である。

(2)
まず $$b_1=\frac{a_1}{3}=1$$ である。(1)より $$b_{k+1}-b_k=-\frac{1}{k(k+1)}$$ だから，$k=1,2,\dots ,n-1$ について足し合わせると $$b_n-b_1=-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}$$ である。よって $$b_n=1-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}$$ となる。

ここで $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$ であるから，$$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=1-\frac{1}{n}$$である。したがって $$b_n=1-(1-\frac{1}{n})=\frac{1}{n}$$ である。

$a_n=3^n{b}_n$ だから，求める一般項は $$a_n=\frac{3^n}{n}$$ である。

小さい項または標準解法から $a_n=3^n\mathrm{/}n$ を予想し，初項と漸化式を用いて帰納的に証明する。公式採点講評が注意する『予想だけで終えない』ことを明確にする。

(1)
定義式を $3^{n+1}$ で割れば$$b_{n+1}=b_n-\frac{1}{n(n+1)}$$である。

(2)
$a_n=3^n\mathrm{/}n$ と予想する。$n=1$ では $a_1=3=3^1\mathrm{/}1$ で成り立つ。ある正整数 $n$ で $a_n=3^n\mathrm{/}n$ と仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =3\frac{3^n}{n}-\frac{3^{n+1}}{n(n+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3^{n+1}}{n}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{3^{n+1}}{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $n+1$ でも成り立つ。数学的帰納法により$$a_n=\frac{3^n}{n}$$である。