問題
三角形において，辺をに内分する点を，直線に関して点と対称な点を，点から直線に下ろした垂線と直線との交点をとする。，とし，，を満たすとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) を，を用いて表せ。
(3) となるとき，の値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
解法1（射影ベクトルで対称点を求める方法）
は の直線 への射影なので， は 方向の成分として求める。 は を直線 に関して反転した点であるから，まず の直線 への射影点を求め，その点を中点として を表す。最後は と の長さを内積で計算し，未知量 だけの方程式にする。
解法2（直線 OA を座標軸に取る方法）
直線 を 軸に取り， と置く。内積条件から の横座標が直ちに決まり，垂線の足と対称点は座標の符号を変えるだけで求まる。最後は長さの条件から の縦座標を決める。
解答
解法1（射影ベクトルで対称点を求める方法）
(1)
は点 から直線 に下ろした垂線の足である。したがって は の 方向への射影であり，
である。
(2)
は辺 を に内分するから， である。 から直線 に下ろした垂線の足を とすると， は の 方向への射影である。よって
である。ここで
だから
となる。
点 は と直線 に関して対称なので， は線分 の中点である。したがって
(3)
(1) より である。また (2) より
条件 から である。よって となり， を得る。したがって である。
解法2（直線 OA を座標軸に取る方法）
(1)
直線 を 軸に取り，
とおく。内積条件から
であるから， である。よって
となる。
(2)
は を に内分するので，
直線 は 軸であり， は の 軸に関する対称点だから
一方，
である。したがって
を得る。
(3)
(1) より
条件 から
したがって
すなわち である。よって
ゆえに
である。