北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $F$ は点 $B$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足である。したがって $\overrightarrow{OF}$ は $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 方向への射影であり，$$\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}\overrightarrow{a}=\frac{6}{4^2}\overrightarrow{a}=\frac{3}{8}\overrightarrow{a}$$である。

(2) $D$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するから，$$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$$ である。$D$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，$H$ は $D$ の $\overrightarrow{a}$ 方向への射影である。よって$$\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{OD}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}\overrightarrow{a}$$である。ここで$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{3}=\frac{16+12}{3}=\frac{28}{3}$$だから$$\overrightarrow{OH}=\frac{28\mathrm{/}3}{16}\overrightarrow{a}=\frac{7}{12}\overrightarrow{a}$$となる。

点 $E$ は $D$ と直線 $OA$ に関して対称なので，$H$ は線分 $DE$ の中点である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OE}}& {\displaystyle =2\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OD}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7}{6}\overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

(1) より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OF}\mathrm{\mid }=\frac{3}{8}\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=\frac{3}{2}$$ である。また (2) より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{25}{36}\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2-\frac{10}{9}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{25}{36}\cdot 16-\frac{10}{9}\cdot 6+\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{40}{9}+\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $$9\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=20\mathrm{\mid }\overrightarrow{OF}\mathrm{\mid }$$ から $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=\frac{20}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{10}{3}$$ である。よって $$\frac{40}{9}+\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{100}{9}$$ となり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=15$$ を得る。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{15}$$ である。

直線 $OA$ を $x$ 軸に取り，$A=(4,0)$ と置く。内積条件から $B$ の横座標が直ちに決まり，垂線の足と対称点は座標の符号を変えるだけで求まる。最後は長さの条件から $B$ の縦座標を決める。

(1)
直線 $OA$ を $x$ 軸に取り，$$A=(4,0),B=(p,q)$$とおく。内積条件から$$6=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(4,0)\cdot (p,q)=4p$$であるから，$p={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。よって$$F=(\frac{3}{2},0),\overrightarrow{OF}=\frac{3}{8}\overrightarrow{a}$$となる。

(2)
$D$ は $AB$ を $2:1$ に内分するので，$$D=\frac{A+2B}{3}=(\frac{7}{3},\frac{2q}{3})\mathrm{.}$$直線 $OA$ は $x$ 軸であり，$E$ は $D$ の $x$ 軸に関する対称点だから$$E=(\frac{7}{3},-\frac{2q}{3})\mathrm{.}$$一方，$$\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}=\frac{5}{6}(4,0)-\frac{2}{3}(\frac{3}{2},q)=(\frac{7}{3},-\frac{2q}{3})$$である。したがって$$\overrightarrow{OE}=\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$を得る。

(3)
(1) より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OF}\mathrm{\mid }=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$条件 $$9\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=20\mathrm{\mid }\overrightarrow{OF}\mathrm{\mid }$$ から$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OE}\mathrm{\mid }=\frac{10}{3}\mathrm{.}$$したがって$${\left(\frac{7}{3}\right)}^2+{(-\frac{2q}{3})}^2={\left(\frac{10}{3}\right)}^2,$$すなわち $$q^2={\displaystyle \frac{51}{4}}$$ である。よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+q^2=\frac{9}{4}+\frac{51}{4}=15.$$ゆえに$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{15}$$である。