北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
与えられた多項式は $$f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$$ である。$x=k-1$ を代入してもよいが、(2) でも使うため因数分解しておく。 $(x-k+1)(x^2-kx+1)$ を展開すると $x^3-k{x}^2+x-(k-1)x^2+k(k-1)x-(k-1)$ $$=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-k+1$$ となる。したがって $f(x)=(x-k+1)(x^2-kx+1)$ である。よって $$f(k-1)=0\cdot \{(k-1{)}^2-k(k-1)+1\}=0$$ である。

(2) $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<2$ のとき、2次式 $x^2-kx+1$ の判別式は $D=k^2-4<0$ である。また $x^2$ の係数は正なので、$x^2-kx+1>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。

したがって $f(x)=(x-k+1)(x^2-kx+1)$ の符号は $x-k+1$ の符号だけで決まる。ゆえに $f(x)\geqq 0$ は $x-k+1\geqq 0$ と同値である。よって解は $x\geqq k-1$ である。

(1) は直接代入で零点を確認する。(2) はその零点を手掛かりに組立除法を行い、残る2次因子を判別式ではなく平方完成で正値と示す。

(1)
直接代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(k-1)}& {\displaystyle =(k-1{)}^3-(2k-1)(k-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(k^2-k+1)(k-1)-k+1=0.}\end{array}$$(2)
(1) より $x=k-1$ は $f(x)=0$ の解である。そこで $f(x)$ を $x-k+1$ で割ると$$f(x)=(x-k+1)(x^2-kx+1)$$を得る。ここで2次因子は$$x^2-kx+1={(x-\frac{k}{2})}^2+\frac{4-k^2}{4}$$と平方完成できる。$\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<2$ なら $4-k^2>0$ であるから、任意の実数 $x$ に対して$$x^2-kx+1>0.$$したがって $f(x)$ の符号は $x-k+1$ の符号と一致する。ゆえに$$f(x)\geqq 0⟺x\geqq k-1.$$