北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
カードを戻すので、1回目と3回目の文字は独立であり、各回の文字の確率は $$P(A)=\frac{5}{10},P(B)=\frac{3}{10},P(C)=\frac{2}{10}$$ である。したがって、1回目と3回目の文字が一致する確率は$${\left(\frac{5}{10}\right)}^2+{\left(\frac{3}{10}\right)}^2+{\left(\frac{2}{10}\right)}^2=\frac{25+9+4}{100}=\frac{19}{50}$$である。

(2)
カードを戻さない。1回目がAである確率は $\frac{5}{10}$ であり、その後、3回目がAである確率は、2回目の結果を特に指定しなければ、残り9枚のうちAが4枚あると見て $\frac{4}{9}$ である。同様に、1回目がB、Cの場合も考えると、求める確率は$$\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{20+6+2}{90}=\frac{14}{45}$$である。

(3)
2回目にCが取り出されたことが分かっている。この条件のもとでは、1回目と3回目は、Aが5枚、Bが3枚、Cが1枚の合計9枚から、戻さずに2枚を順に取り出す状況と同じである。

したがって、1回目と3回目がともにAである確率は $\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}$ であり、ともにBである確率は $\frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}$ である。Cは1枚しか残っていないので、1回目と3回目がともにCになることはない。よって条件付き確率は$$\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}+\frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}=\frac{20}{72}+\frac{6}{72}=\frac{13}{36}$$である。

1回目と3回目だけに注目し、同じ文字をもつ順序付きカード対を数える。復元時は $n_X^2$、非復元時は $n_X(n_X-1)$ が文字 $X$ の一致対の数になる。

(1)
復元抽出では、1回目と3回目の順序付きカード対は ${10}^2$ 通りで等確率である。同じ文字になる対は$$5^2+3^2+2^2=38$$通りだから、確率は$$\frac{38}{100}=\frac{19}{50}\mathrm{.}$$(2)
非復元抽出では、1回目と3回目に来る異なる実物カードの順序付き対は $10\cdot 9$ 通りで等確率である。同じ文字になる対は$$5\cdot 4+3\cdot 2+2\cdot 1=28$$通りだから、確率は$$\frac{28}{90}=\frac{14}{45}\mathrm{.}$$2回目のカードを数えなくてよいのは、各順序付き対に対して残り8枚のどれを2回目に置いても同数だからである。

(3)
2回目がCであるという条件のもとでは、残りは A が5枚、B が3枚、C が1枚の計9枚である。1回目と3回目の順序付き対は $9\cdot 8$ 通りで、そのうち一致対は$$5\cdot 4+3\cdot 2+1\cdot 0=26$$通りである。したがって条件付き確率は$$\frac{26}{72}=\frac{13}{36}\mathrm{.}$$