北海道大学 2022年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

箱の中に1文字ずつ書かれたカードが10枚ある。そのうち5枚にはA，3枚にはB，2枚にはCと書かれている。箱から1枚ずつ，3回カードを取り出す試行を考える。

(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。

(2) 取り出したカードを箱に戻さない場合，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。

(3) 取り出したカードを箱に戻さない場合，2回目に取り出したカードの文字がCであるとき，1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する条件つき確率を求めよ。

出典：北海道大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

解法1

(1) は復元抽出なので1回目と3回目が独立であり、文字ごとに確率の2乗を足す。(2) は非復元抽出なので、1回目の文字で場合分けし、3回目に同じ文字が出る条件付き確率を掛ける。2回目のカードは指定されていないが、非復元では「1回目を除いた残り9枚」から3回目が選ばれると見なしてよい。(3) は2回目がCである条件のもと、残り9枚の構成 $A 5, B 3, C 1$ から1回目と3回目を非復元で考える。

別解（順序付きカード対の総数による一括計数）

1回目と3回目だけに注目し、同じ文字をもつ順序付きカード対を数える。復元時は $n_{X}^{2}$ 、非復元時は $n_{X} (n_{X} - 1)$ が文字 $X$ の一致対の数になる。

解答

解法1

(1)

カードを戻すので、1回目と3回目の文字は独立であり、各回の文字の確率は $P (A) = \frac{5}{10}, P (B) = \frac{3}{10}, P (C) = \frac{2}{10}$ である。したがって、1回目と3回目の文字が一致する確率は

(\frac{5}{10})^{2} + (\frac{3}{10})^{2} + (\frac{2}{10})^{2} = \frac{25 + 9 + 4}{100} = \frac{19}{50}

である。

(2)

カードを戻さない。1回目がAである確率は $\frac{5}{10}$ であり、その後、3回目がAである確率は、2回目の結果を特に指定しなければ、残り9枚のうちAが4枚あると見て $\frac{4}{9}$ である。同様に、1回目がB、Cの場合も考えると、求める確率は

\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{20 + 6 + 2}{90} = \frac{14}{45}

である。

(3)

2回目にCが取り出されたことが分かっている。この条件のもとでは、1回目と3回目は、Aが5枚、Bが3枚、Cが1枚の合計9枚から、戻さずに2枚を順に取り出す状況と同じである。

したがって、1回目と3回目がともにAである確率は $\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}$ であり、ともにBである確率は $\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8}$ である。Cは1枚しか残っていないので、1回目と3回目がともにCになることはない。よって条件付き確率は

\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{20}{72} + \frac{6}{72} = \frac{13}{36}

である。

別解（順序付きカード対の総数による一括計数）

(1)

復元抽出では、1回目と3回目の順序付きカード対は $1 0^{2}$ 通りで等確率である。同じ文字になる対は

5^{2} + 3^{2} + 2^{2} = 38

通りだから、確率は

\frac{38}{100} = \frac{19}{50} .

(2)

非復元抽出では、1回目と3回目に来る異なる実物カードの順序付き対は $10 \cdot 9$ 通りで等確率である。同じ文字になる対は

5 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 28

通りだから、確率は

\frac{28}{90} = \frac{14}{45} .

2回目のカードを数えなくてよいのは、各順序付き対に対して残り8枚のどれを2回目に置いても同数だからである。

(3)

2回目がCであるという条件のもとでは、残りは A が5枚、B が3枚、C が1枚の計9枚である。1回目と3回目の順序付き対は $9 \cdot 8$ 通りで、そのうち一致対は

5 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 26

通りである。したがって条件付き確率は

\frac{26}{72} = \frac{13}{36} .

北海道大学 2022年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1

別解（順序付きカード対の総数による一括計数）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

別解（順序付きカード対の総数による一括計数）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2022年度
文系数学前期第4問