北海道大学 2022年度
文系数学 前期 第3問

解答

解法1

(1)

$BC=a$ は斜辺であり、$\angle B=60^{\circ }$、$\angle C=30^{\circ }$ である。したがって辺の比より $AB=\frac{a}{2},AC=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ である。

直角三角形で、斜辺を $c$、他の2辺を $p,q$ とすると、内接円の半径は $r=\frac{p+q-c}{2}$ である。これは面積を $\frac{1}{2}pq$ と $\frac{1}{2}r(p+q+c)$ の2通りで表しても導ける。

よって本問では

である。

(2)

内心 $O$ から辺 $AB$、$AC$ へ下ろした垂線の長さはいずれも $r$ である。また、$AO$ は $\angle A$ の二等分線であるから、直角三角形を見て $OA=\frac{r}{\sin 45^{\circ }}=\sqrt{2}r$ である。同様に $OB=\frac{r}{\sin 30^{\circ }}=2r$ である。したがって $\frac{OB}{OA}=\frac{2r}{\sqrt{2}r}=\sqrt{2}$ となり、$OA:OB=1:\sqrt{2}$ である。よって $k=0$、$l=2$ とできる。

また $\angle C=30^{\circ }$ なので $OC=\frac{r}{\sin 15^{\circ }}$ である。したがって $\frac{OC}{OA}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin 15^{\circ }}$ である。ここで $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ だから $\sqrt{2}\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ である。よって $\frac{OC}{OA}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$ となる。したがって $OA:OC=1:1+\sqrt{3}$ であり、$m=1$、$n=3$ とできる。

以上より、条件を満たす組の一つは $(k,l,m,n)=(0,2,1,3)$ である。

別解（座標配置と距離公式）

$A=(0,0)$、$B=(a/2,0)$、$C=(0,\sqrt{3}a/2)$ と置く。このとき $BC=a$、$\angle A=90^{\circ }$、$\angle B=60^{\circ }$ を満たす。

(1)

直角三角形の面積を2通りに表すと

これを解いて

(2)

内心は2本の座標軸からともに距離 $r$ にあるから $O=(r,r)$ であり、

また

ゆえに $OB=2r$ である。したがって

よって $(k,l)=(0,2)$ とできる。

同様に

一方 $O{A}^2=2r^2=\frac{2-\sqrt{3}}{4}{a}^2$ だから

長さは正なので $OC/OA=1+\sqrt{3}$。したがって $(m,n)=(1,3)$ であり、求める組の一つは

である。