北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $BC=a$ は斜辺であり、$\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$、$\mathrm{\angle }C={30}^{\circ }$ である。したがって辺の比より $$AB=\frac{a}{2},AC=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$ である。

直角三角形で、斜辺を $c$、他の2辺を $p,q$ とすると、内接円の半径は $$r=\frac{p+q-c}{2}$$ である。これは面積を $\frac{1}{2}pq$ と $\frac{1}{2}r(p+q+c)$ の2通りで表しても導ける。

よって本問では$$r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}a-a}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}a$$である。

(2)
内心 $O$ から辺 $AB$、$AC$ へ下ろした垂線の長さはいずれも $r$ である。また、$AO$ は $\mathrm{\angle }A$ の二等分線であるから、直角三角形を見て $$OA=\frac{r}{\sin {45}^{\circ }}=\sqrt{2}r$$ である。同様に $$OB=\frac{r}{\sin {30}^{\circ }}=2r$$ である。したがって $$\frac{OB}{OA}=\frac{2r}{\sqrt{2}r}=\sqrt{2}$$ となり、$OA:OB=1:\sqrt{2}$ である。よって $k=0$、$l=2$ とできる。

また $\mathrm{\angle }C={30}^{\circ }$ なので $$OC=\frac{r}{\sin {15}^{\circ }}$$ である。したがって $$\frac{OC}{OA}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin {15}^{\circ }}$$ である。ここで $$\sin {15}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ だから $$\sqrt{2}\sin {15}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$ である。よって $$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$$ となる。したがって $OA:OC=1:1+\sqrt{3}$ であり、$m=1$、$n=3$ とできる。

以上より、条件を満たす組の一つは $(k,l,m,n)=(0,2,1,3)$ である。

直角を座標軸に合わせ、内心が両脚から等距離にあることから $O=(r,r)$ と置く。各頂点までの距離を座標で直接計算して比を求める。

$A=(0,0)$、$B=(a\mathrm{/}2,0)$、$C=(0,\sqrt{3}a\mathrm{/}2)$ と置く。このとき $BC=a$、$\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$、$\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$ を満たす。

(1)
直角三角形の面積を2通りに表すと$$\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{r}{2}(\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}a}{2}+a)\mathrm{.}$$これを解いて$$r=\frac{\sqrt{3}-1}{4}a\mathrm{.}$$(2)
内心は2本の座標軸からともに距離 $r$ にあるから $O=(r,r)$ であり、$$OA=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{B}^2}& {\displaystyle ={(\frac{a}{2}-r)}^2+r^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2}{16}\{(3-\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2\}=4r^2,}\end{array}$$ゆえに $OB=2r$ である。したがって$$\frac{OB}{OA}=\sqrt{2},OA:OB=1:\sqrt{2}\mathrm{.}$$よって $(k,l)=(0,2)$ とできる。

同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{C}^2}& {\displaystyle =r^2+{(\frac{\sqrt{3}a}{2}-r)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2}{16}\{(\sqrt{3}-1{)}^2+(\sqrt{3}+1{)}^2\}=\frac{a^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$一方 $$O{A}^2=2r^2=\frac{2-\sqrt{3}}{4}{a}^2$$ だから$${\left(\frac{OC}{OA}\right)}^2=\frac{2}{2-\sqrt{3}}=4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3}{)}^2\mathrm{.}$$長さは正なので $OC\mathrm{/}OA=1+\sqrt{3}$。したがって $(m,n)=(1,3)$ であり、求める組の一つは$$(k,l,m,n)=(0,2,1,3)$$である。