北海道大学 2023年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$P (x)$ を $x$ についての整式とし， $P (x) P (- x) = P (x^{2})$ は $x$ についての恒等式であるとする。

(1) $P (0) = 0$ または $P (0) = 1$ であることを示せ。

(2) $P (x)$ が $x - 1$ で割り切れないならば， $P (x) - 1$ は $x + 1$ で割り切れることを示せ。

(3) 次数が2である $P (x)$ をすべて求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

解法1（標準解法）

(1) は恒等式に $x = 0$ を代入して， $P (0)$ が $t^{2} = t$ を満たすことを見る。(2) は $x = 1$ を代入し， $P (1) \neq = 0$ から割って $P (- 1) = 1$ を得る。(3) は $P (x) = a x^{2} + b x + c$ とおき， $P (x) P (- x)$ では奇数次の項が消えることに注意して $x^{4}, x^{2}, 1$ の係数を比較する。最後に得た4候補が実際に次数2で恒等式を満たすことを確認する。

別解（偶数部分と奇数部分に分ける）

整式を偶数部分と奇数部分に分け，恒等式の左辺を平方差として整理する。次数2の場合は定数項ごとに奇数部分の係数を決定する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

恒等式 $P (x) P (- x) = P (x^{2})$ に $x = 0$ を代入すると $P (0)^{2} = P (0)$ である。よって $P (0) {P (0) - 1} = 0$ となるから， $P (0) = 0 または P (0) = 1$ である。

(2)

$P (x)$ が $x - 1$ で割り切れないということは， $P (1) \neq = 0$ を意味する。恒等式に $x = 1$ を代入すると $P (1) P (- 1) = P (1)$ である。 $P (1) \neq = 0$ なので両辺を $P (1)$ で割ることができ， $P (- 1) = 1$ を得る。したがって $P (- 1) - 1 = 0$ であるから，因数定理より $P (x) - 1$ は $x + 1$ で割り切れる。

(3)

$P (x)$ の次数が2であるから $P (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ とおく。このとき $P (- x) = a x^{2} - b x + c$ であり， $P (x) P (- x) = (a x^{2} + c)^{2} - b^{2} x^{2} = a^{2} x^{4} + (2 a c - b^{2}) x^{2} + c^{2}$ である。一方， $P (x^{2}) = a x^{4} + b x^{2} + c$ である。係数を比較すると $a^{2} = a, 2 a c - b^{2} = b, c^{2} = c$ である。 $a \neq = 0$ より $a = 1$ である。また $c^{2} = c$ から $c = 0$ または $c = 1$ である。 $c = 0$ のとき， $- b^{2} = b$ より $b = 0, - 1$ である。したがって $P (x) = x^{2}, P (x) = x^{2} - x$ を得る。 $c = 1$ のとき， $2 - b^{2} = b$ すなわち $b^{2} + b - 2 = 0$ より $b = 1, - 2$ である。したがって $P (x) = x^{2} + x + 1, P (x) = x^{2} - 2 x + 1$ を得る。

以上の4つはいずれも $a = 1 \neq = 0$ で次数が2であり，上の係数条件を満たすので，実際に恒等式を満たす。よって求める整式は $P (x) = x^{2}, x^{2} - x, x^{2} + x + 1, (x - 1)^{2}$ である。

別解（偶数部分と奇数部分に分ける）

(1)

$x = 0$ を代入すれば

P (0)^{2} = P (0)

であるから， $P (0) = 0$ または $P (0) = 1$ である。

(2)

$x = 1$ を代入すると

P (1) P (- 1) = P (1)

を得る。 $P (x)$ が $x - 1$ で割り切れないときは $P (1) \neq = 0$ なので， $P (- 1) = 1$ である。因数定理により $P (x) - 1$ は $x + 1$ で割り切れる。

(3)

$P$ の偶数部分と奇数部分を

E (x) = \frac{P ( x ) + P ( - x )}{2}, O (x) = \frac{P ( x ) - P ( - x )}{2}

とおく。次数が2であるから

E (x) = a x^{2} + c, O (x) = b x (a \neq = 0)

と書ける。恒等式は

E (x)^{2} - O (x)^{2} = P (x^{2})

となる。最高次項だけを比べれば $a^{2} = a$ であり， $a = 1$ である。また (1) により $c = 0, 1$ である。

したがって

(x^{2} + c)^{2} - b^{2} x^{2} = x^{4} + b x^{2} + c

である。 $c = 0$ なら $- b^{2} = b$ より $b = 0, - 1$ ， $c = 1$ なら $2 - b^{2} = b$ より $b = 1, - 2$ である。よって

P (x) = x^{2}, x^{2} - x, x^{2} + x + 1, (x - 1)^{2}

を得る。いずれも上の平方差の式へ代入すれば恒等式を満たす。

北海道大学 2023年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（偶数部分と奇数部分に分ける）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（偶数部分と奇数部分に分ける）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2023年度
文系数学前期第1問