北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
恒等式 $P(x)P(-x)=P(x^2)$ に $x=0$ を代入すると $P(0{)}^2=P(0)$ である。よって $P(0)\{P(0)-1\}=0$ となるから，$$P(0)=0\text{または}P(0)=1$$ である。

(2) $P(x)$ が $x-1$ で割り切れないということは，$P(1)\mathrm{\ne }0$ を意味する。恒等式に $x=1$ を代入すると $P(1)P(-1)=P(1)$ である。$P(1)\mathrm{\ne }0$ なので両辺を $P(1)$ で割ることができ，$P(-1)=1$ を得る。したがって $P(-1)-1=0$ であるから，因数定理より $P(x)-1$ は $x+1$ で割り切れる。

(3) $P(x)$ の次数が2であるから $$P(x)=a{x}^2+bx+c(a\mathrm{\ne }0)$$ とおく。このとき $P(-x)=a{x}^2-bx+c$ であり，$$P(x)P(-x)=(a{x}^2+c{)}^2-b^2{x}^2=a^2{x}^4+(2ac-b^2)x^2+c^2$$ である。一方，$P(x^2)=a{x}^4+b{x}^2+c$ である。係数を比較すると $$a^2=a,2ac-b^2=b,c^2=c$$ である。 $a\mathrm{\ne }0$ より $a=1$ である。また $c^2=c$ から $c=0$ または $c=1$ である。 $c=0$ のとき，$-b^2=b$ より $b=0,-1$ である。したがって $$P(x)=x^2,P(x)=x^2-x$$ を得る。 $c=1$ のとき，$2-b^2=b$ すなわち $b^2+b-2=0$ より $b=1,-2$ である。したがって $$P(x)=x^2+x+1,P(x)=x^2-2x+1$$ を得る。

以上の4つはいずれも $a=1\mathrm{\ne }0$ で次数が2であり，上の係数条件を満たすので，実際に恒等式を満たす。よって求める整式は $$P(x)=x^2,x^2-x,x^2+x+1,(x-1{)}^2$$ である。

整式を偶数部分と奇数部分に分け，恒等式の左辺を平方差として整理する。次数2の場合は定数項ごとに奇数部分の係数を決定する。

(1)
$x=0$ を代入すれば$$P(0{)}^2=P(0)$$であるから，$P(0)=0$ または $P(0)=1$ である。

(2)
$x=1$ を代入すると$$P(1)P(-1)=P(1)$$を得る。$P(x)$ が $x-1$ で割り切れないときは $P(1)\mathrm{\ne }0$ なので，$P(-1)=1$ である。因数定理により $P(x)-1$ は $x+1$ で割り切れる。

(3)
$P$ の偶数部分と奇数部分を$$E(x)=\frac{P(x)+P(-x)}{2},O(x)=\frac{P(x)-P(-x)}{2}$$とおく。次数が2であるから$$E(x)=a{x}^2+c,O(x)=bx(a\mathrm{\ne }0)$$と書ける。恒等式は$$E(x{)}^2-O(x{)}^2=P(x^2)$$となる。最高次項だけを比べれば $a^2=a$ であり，$a=1$ である。また (1) により $c=0,1$ である。

したがって$$(x^2+c{)}^2-b^2{x}^2=x^4+b{x}^2+c$$である。$c=0$ なら $-b^2=b$ より $b=0,-1$，$c=1$ なら $2-b^2=b$ より $b=1,-2$ である。よって$$P(x)=x^2,x^2-x,x^2+x+1,(x-1{)}^2$$を得る。いずれも上の平方差の式へ代入すれば恒等式を満たす。