北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $P$ は $\mathrm{\angle }AOB$ の二等分線と直線 $AB$ の交点である。角の二等分線定理より $AP:PB=OA:OB=3:5$ である。したがって内分点公式から$$\overrightarrow{OP}=\frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{8}$$である。

次に $\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }$ を求める。余弦定理より $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$$ であるから，$$49=9+25-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$$ となり，$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-\frac{15}{2}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{8}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{64}\{25\cdot 9+30(-\frac{15}{2})+9\cdot 25\}=\frac{225}{64}}\end{array}$$である。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\frac{15}{8}$$ である。

(2)
頂点 $B$ から見た $BA$ 方向の単位ベクトルは$$\frac{\overrightarrow{BA}}{\mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }}=\frac{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}{7}$$であり，$BO$ 方向の単位ベクトルは $$\frac{\overrightarrow{BO}}{\mathrm{\mid }BO\mathrm{\mid }}=-\frac{\overrightarrow{OB}}{5}$$ である。外角の二等分線の方向はこれらの差の方向であるから，$$\frac{\overrightarrow{BA}}{\mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }}-\frac{\overrightarrow{BO}}{\mathrm{\mid }BO\mathrm{\mid }}=\frac{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}{7}+\frac{\overrightarrow{OB}}{5}=\frac{5\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{35}$$に平行である。 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので，ある実数 $\lambda$ を用いて$$\overrightarrow{OQ}=\lambda \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{8}$$と表せる。また，$Q$ は $B$ を通る外角二等分線上にあるので，ある実数 $\mu$ を用いて$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+\mu (5\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})$$とも表せる。 $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は平行でないから係数を比較できる。$\overrightarrow{OA}$ の係数から $$\frac{5\lambda }{8}=5\mu$$ すなわち $\mu =\lambda \mathrm{/}8$ である。$\overrightarrow{OB}$ の係数から $$\frac{3\lambda }{8}=1+2\mu$$ であり，$\mu =\lambda \mathrm{/}8$ を代入すると $$\frac{3\lambda }{8}=1+\frac{\lambda }{4}$$ となる。よって $\lambda =8$ である。

したがって $$\overrightarrow{OQ}=5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$$ である。これは $8\overrightarrow{OP}$ に等しいので，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=8\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=8\cdot \frac{15}{8}=15$$ である。

まず内角二等分線定理で $P$ を求める。次に三角形 $OBP$ の頂点 $B$ に外角二等分線定理を用い，直線 $OP$ 上の比から $Q$ を決める。

(1)
角の二等分線定理より$$AP:PB=OA:OB=3:5.$$したがって$$\overrightarrow{OP}=\frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{8}\mathrm{.}$$また余弦定理から$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2}=-\frac{15}{2}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{25\cdot 9+30(-15\mathrm{/}2)+9\cdot 25}{64}=\frac{225}{64},$$すなわち$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\frac{15}{8}\mathrm{.}$$(2)
上の比から$$PB=\frac{5}{8}AB=\frac{35}{8}\mathrm{.}$$点 $P$ は辺 $BA$ 上にあるので，問題の直線 $BQ$ は三角形 $OBP$ の頂点 $B$ における外角の二等分線でもある。外角二等分線定理より$$OQ:QP=BO:BP=5:\frac{35}{8}=8:7.$$ここで $BO\mathrm{\ne }BP$ だから $Q$ は直線 $OP$ 上で $P$ の外側にあり，$OQ-QP=OP$ である。したがって$$OQ=8OP=15.$$向きも同じなので$$\overrightarrow{OQ}=8\overrightarrow{OP}=5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB},\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=15.$$