問題
三角形は辺の長さが，，であるとする。また，の2等分線と直線との交点をとし，頂点における外角の2等分線と直線との交点をとする。
(1) を，を用いて表せ。また，の値を求めよ。
(2) を，を用いて表せ。また，の値を求めよ。
方針
解法1（標準解法）
(1) は角の二等分線定理から とし，内分点公式で を出す。長さは余弦定理で を求めてから計算する。(2) は頂点 の外角二等分線の方向を， 方向の単位ベクトルと 方向の単位ベクトルの差として作る。 が直線 とその外角二等分線上にあることを係数比較して を決める。
別解（内角・外角の二等分線定理）
まず内角二等分線定理で を求める。次に三角形 の頂点 に外角二等分線定理を用い，直線 上の比から を決める。
解答
解法1（標準解法）
(1)
は の二等分線と直線 の交点である。角の二等分線定理より である。したがって内分点公式から
である。
次に を求める。余弦定理より であるから， となり， である。よって
である。したがって である。
(2)
頂点 から見た 方向の単位ベクトルは
であり， 方向の単位ベクトルは である。外角の二等分線の方向はこれらの差の方向であるから，
に平行である。 は直線 上にあるので，ある実数 を用いて
と表せる。また， は を通る外角二等分線上にあるので，ある実数 を用いて
とも表せる。 と は平行でないから係数を比較できる。 の係数から すなわち である。 の係数から であり， を代入すると となる。よって である。
したがって である。これは に等しいので， である。
別解（内角・外角の二等分線定理）
(1)
角の二等分線定理より
したがって
また余弦定理から
よって
すなわち
(2)
上の比から
点 は辺 上にあるので，問題の直線 は三角形 の頂点 における外角の二等分線でもある。外角二等分線定理より
ここで だから は直線 上で の外側にあり， である。したがって
向きも同じなので