方針
(1) は共通接点を (x,y) とし，円の接線の傾き −x/y と放物線の接線の傾き 2x を一致させる。傾き正より x>0 と分かるので，y=−1/2，x=3/2 が選ばれる。(2) は不等式の向きを確認し，水平線 y=一定 で切る。−1≦y≦−1/2 で，円の外側かつ放物線の上側となる左右2つの幅を積分する。円部分の積分は扇形と三角形の面積で処理する。
解答
(1)
共通接点を (x,y) とする。円の接線の傾きは −x/y，放物線の接線の傾きは 2x である。傾きが正なので x=0 であり，2x=−yxから y=−1/2 を得る。円上にあることと傾きが正であることからx=23.放物線の式へ代入してq=−21−43=−45.よって接点は(23,−21)である。
(2)
領域を水平に切る。−5/4≦y≦−1 では円の外側という条件は自動的に満たされ，横幅は2y+45.−1≦y≦−1/2 では，放物線の内側から円の内側を除くので横幅は2(y+45−1−y2).したがって面積 S はS=2∫−5/4−1y+45dy+2∫−1−1/2(y+45−1−y2)dy.第1項は 1/6 である。また2∫−1−1/2y+45dy=633−1,2∫−1−1/21−y2dy=3π−43.以上を合わせてS=433−3π.なお，−5/4≦y<−1 の部分を落とすと面積が 1/6 小さくなるので注意する。
別解
別解（共通接線の方程式と縦方向の積分）
方針
共通接線を y=mx+n と置き，円への距離条件と両曲線の接点一致条件から m,n,q を決める。面積は縦に切ると一つの積分で表せる。
解答
(1)
共通接線を y=mx+n とおく。傾きが正だから m>0 である。放物線との接点の x 座標は，接線の傾きから2x=m,x=2m.一方，直線を mx−y+n=0 と書くと，円との接点は原点からこの直線へ下ろした垂線の足だから(−m2+1mn,m2+1n)である。二つの接点の x 座標が一致し，m>0 なので2m=−m2+1mn,n=−2m2+1.(1)また直線が単位円に接する条件はm2+1∣n∣=1.(1)より n<0 だから，これを代入すると m2+1=4 となる。よってm=3,n=−2.接点は(23,−21)であり，放物線の式へ代入してq=−21−43=−45.(2)
y≦−1/2 かつ y≧x2−5/4 より−23≦x≦23.この範囲では，円の外側にある下側の部分はy≦−1−x2である。したがって面積 S はS=∫−3/23/2{−1−x2−(x2−45)}dx.多項式部分は∫−3/23/2(45−x2)dx=3.また∫−3/23/21−x2dx=43+3πは，中心角 2π/3 の扇形と二つの直角三角形からも得られる。よってS=433−3π.
総評
共通接線条件からパラメータを決め，その後に領域面積を読む問題。目安時間は22分。(1) では傾き正から x>0 を選ぶ点が分岐である。(2) は x2+y2≧1 が円の外側，y≧x2−5/4 が放物線の上側を表すので，水平切片では内側の円をくり抜く形になる。積分の端点，左右対称の2倍，円部分を扇形から三角形を引いて求める処理が得点源である。 水平切片と垂直切片の2積分で面積が一致した。 水平切片と垂直切片の2積分で面積が一致した。 水平切片と垂直切片の2積分で面積が一致した。
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出典: 北海道大学 2023年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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