北海道大学 2023年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$q$ を実数とする。座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と放物線 $P : y = x^{2} + q$ がある。

(1) $C$ と $P$ に同じ点で接する傾き正の直線が存在するとき， $q$ の値およびその接点の座標を求めよ。

(2) (1)で求めた $q$ の値を $q_{1}$ ，接点の $y$ 座標を $y_{1}$ とするとき，連立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} ≧ 1 y ≧ x^{2} + q_{1} y ≦ y_{1}

の表す領域の面積を求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

解法1（標準解法）

(1) は共通接点を $(x, y)$ とし，円の接線の傾き $- x / y$ と放物線の接線の傾き $2 x$ を一致させる。傾き正より $x > 0$ と分かるので， $y = - 1/2$ ， $x = 3 /2$ が選ばれる。(2) は不等式の向きを確認し，水平線 $y = 一定$ で切る。 $- 1 ≦ y ≦ - 1/2$ で，円の外側かつ放物線の上側となる左右2つの幅を積分する。円部分の積分は扇形と三角形の面積で処理する。

別解（共通接線の方程式と縦方向の積分）

共通接線を $y = m x + n$ と置き，円への距離条件と両曲線の接点一致条件から $m, n, q$ を決める。面積は縦に切ると一つの積分で表せる。

解答

解法1（標準解法）

(1)

共通接点を $(x, y)$ とする。円の接線の傾きは $- x / y$ ，放物線の接線の傾きは $2 x$ である。傾きが正なので $x \neq = 0$ であり，

2 x = - \frac{x}{y}

から $y = - 1/2$ を得る。円上にあることと傾きが正であることから

x = \frac{3}{2} .

放物線の式へ代入して

q = - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{4} .

よって接点は

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

である。

(2)

領域を水平に切る。 $- 5/4 ≦ y ≦ - 1$ では円の外側という条件は自動的に満たされ，横幅は

2 y + \frac{5}{4} .

$- 1 ≦ y ≦ - 1/2$ では，放物線の内側から円の内側を除くので横幅は

2 (y + \frac{5}{4} - 1 - y^{2}) .

したがって面積 $S$ は

S = 2 \int_{- 5/4}^{- 1} y + \frac{5}{4} d y + 2 \int_{- 1}^{- 1/2} (y + \frac{5}{4} - 1 - y^{2}) d y .

第1項は $1/6$ である。また

2 \int_{- 1}^{- 1/2} y + \frac{5}{4} d y = \frac{3 3 - 1}{6},

2 \int_{- 1}^{- 1/2} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{3} - \frac{3}{4} .

以上を合わせて

S = \frac{3 3}{4} - \frac{π}{3} .

なお， $- 5/4 ≦ y < - 1$ の部分を落とすと面積が $1/6$ 小さくなるので注意する。

別解（共通接線の方程式と縦方向の積分）

(1)

共通接線を $y = m x + n$ とおく。傾きが正だから $m > 0$ である。放物線との接点の $x$ 座標は，接線の傾きから

2 x = m, x = \frac{m}{2} .

一方，直線を $m x - y + n = 0$ と書くと，円との接点は原点からこの直線へ下ろした垂線の足だから

(- \frac{mn}{m ^{2} + 1}, \frac{n}{m ^{2} + 1})

である。二つの接点の $x$ 座標が一致し， $m > 0$ なので

\frac{m}{2} = - \frac{mn}{m ^{2} + 1}, n = - \frac{m ^{2} + 1}{2} . (1)

また直線が単位円に接する条件は

\frac{∣ n ∣}{m ^{2} + 1} = 1.

(1)より $n < 0$ だから，これを代入すると $m^{2} + 1 = 4$ となる。よって

m = 3, n = - 2.

接点は

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

であり，放物線の式へ代入して

q = - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{4} .

(2)

$y ≦ - 1/2$ かつ $y ≧ x^{2} - 5/4$ より

- \frac{3}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2} .

この範囲では，円の外側にある下側の部分は

y ≦ - 1 - x^{2}

である。したがって面積 $S$ は

S = \int_{- 3 /2}^{3 /2} {- 1 - x^{2} - (x^{2} - \frac{5}{4})} d x .

多項式部分は

\int_{- 3 /2}^{3 /2} (\frac{5}{4} - x^{2}) d x = 3 .

また

\int_{- 3 /2}^{3 /2} 1 - x^{2} d x = \frac{3}{4} + \frac{π}{3}

は，中心角 $2 π /3$ の扇形と二つの直角三角形からも得られる。よって

S = \frac{3 3}{4} - \frac{π}{3} .

北海道大学 2023年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（共通接線の方程式と縦方向の積分）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

別解（共通接線の方程式と縦方向の積分）

(1)

(2)

北海道大学 2023年度
文系数学前期第4問