北海道大学 2023年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げて出た目の数を順に $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ とし，

K_{n} = ∣1 - a_{1} ∣ + ∣ a_{1} - a_{2} ∣ + \dots\dots + ∣ a_{n - 1} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - 6∣

とおく。また $K_{n}$ のとりうる値の最小値を $q_{n}$ とする。

(1) $K_{2} = 5$ となる確率を求めよ。

(2) $K_{3} = 5$ となる確率を求めよ。

(3) $q_{n}$ を求めよ。また $K_{n} = q_{n}$ となるための $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ に関する必要十分条件を求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

解法1（標準解法）

$K_{n}$ は数直線上で $1$ から始まり， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を通って $6$ に至る折れ線の長さである。三角不等式から最小値は少なくとも $5$ で，等号は途中で逆戻りしないとき，すなわち非減少列のときに限られる。(1)(2) はその等号条件を使い，重複を許す組合せとして非減少列の個数を数える。

別解（上昇量と下降量で数える）

数直線上の各移動を右向きと左向きに分ける。右向き総量と左向き総量の差は常に5なので，総移動距離は $5 + 2 \times$ 左向き総量となる。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$K_{2}$ は，数直線上で $1 \to a_{1} \to a_{2} \to 6$ と進むときの移動距離の合計である。 $1 ≦ a_{1}, a_{2} ≦ 6$ だから，この合計が最短の $5$ になるのは，途中で左へ戻らない場合，すなわち $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ 6$ のときである。

このような $(a_{1}, a_{2})$ は， $1$ から $6$ までの6種類から重複を許して2個を非減少に選ぶことと同じである。したがって個数は $_{6 + 2 - 1} C_{2} =_{7} C_{2} = 21$ である。全事象は $6^{2}$ 通りなので，求める確率は $\frac{21}{6 ^{2}} = \frac{7}{12}$ である。

(2)

同様に， $K_{3} = 5$ となるのは $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ 6$ のときである。このような列は，6種類から重複を許して3個を非減少に選ぶ個数に等しいから $_{6 + 3 - 1} C_{3} =_{8} C_{3} = 56$ 通りである。全事象は $6^{3}$ 通りなので，確率は $\frac{56}{6 ^{3}} = \frac{7}{27}$ である。

(3)

三角不等式を繰り返し用いると $K_{n} = ∣1 - a_{1} ∣ + ∣ a_{1} - a_{2} ∣ + \dots + ∣ a_{n - 1} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - 6∣ ≧ ∣1 - 6∣ = 5$ である。したがって $q_{n} ≧ 5$ である。

一方，たとえば $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1$ とすれば $K_{n} = 5$ となるので， $q_{n} = 5$ である。

等号が成り立つ条件を考える。数直線上で $1$ から $6$ へ進む移動距離の合計が直線距離 $5$ に等しいためには，途中で逆向きに進まないことが必要十分である。つまり $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ である。よって $K_{n} = q_{n}$ となるための必要十分条件は上の非減少条件である。

別解（上昇量と下降量で数える）

数列の両端に $a_{0} = 1$ ， $a_{n + 1} = 6$ を加える。各移動の右向き総量を $U$ ，左向き総量を $D$ とすると，始点と終点の差から

U - D = 6 - 1 = 5

であり，移動距離の総和は

K_{n} = U + D = 5 + 2 D (*)

となる。

(1)

$K_{2} = 5$ は (*) により $D = 0$ ，すなわち $a_{1} ≦ a_{2}$ と同値である。各目 $j$ の出現回数を $m_{j}$ とすれば，非減少列は

m_{1} + m_{2} + \dots + m_{6} = 2, m_{j} ≧ 0

の解と一対一に対応する。その個数は

_{7} C_{5} = 21

なので，確率は

\frac{21}{6 ^{2}} = \frac{7}{12} .

(2)

同様に $K_{3} = 5$ となる非減少列の個数は

m_{1} + \dots + m_{6} = 3

の非負整数解の個数

_{8} C_{5} = 56

である。したがって確率は

\frac{56}{6 ^{3}} = \frac{7}{27} .

(3)

(*) より常に $K_{n} ≧ 5$ であり，等号は $D = 0$ のときに限る。よって

q_{n} = 5.

また $D = 0$ は一度も左へ戻らないことだから，必要十分条件は

1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6

である。

北海道大学 2023年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（上昇量と下降量で数える）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（上昇量と下降量で数える）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2023年度
文系数学前期第3問