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北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

nを2以上の自然数とする。1個のさいころをn回投げて出た目の数を順に
a1, a2, ⋯⋯ , anとし，Kn=∣1−a1∣+∣a1−a2∣+⋯⋯+∣an−1−an∣+∣an−6∣とおく。またKnのとりうる値の最小値をqnとする。

(1) K2=5となる確率を求めよ。

(2) K3=5となる確率を求めよ。

(3) qnを求めよ。またKn=qnとなるためのa1, a2, ⋯⋯ , anに関する
必要十分条件を求めよ。

難易度5/ 10計算量4/ 10目安12分

確率、場合の数　数え上げ、図形的解釈、必要十分条件

方針

Kn は数直線上で 1 から始まり，a1,a2,…,an を通って 6 に至る折れ線の長さである。三角不等式から最小値は少なくとも 5 で，等号は途中で逆戻りしないとき，すなわち非減少列のときに限られる。(1)(2) はその等号条件を使い，重複を許す組合せとして非減少列の個数を数える。

解答

(1) K2 は，数直線上で 1→a1→a2→6 と進むときの移動距離の合計である。1≦a1,a2≦6 だから，この合計が最短の 5 になるのは，途中で左へ戻らない場合，すなわち 1≦a1≦a2≦6 のときである。

このような (a1,a2) は，1 から 6 までの6種類から重複を許して2個を非減少に選ぶことと同じである。したがって個数は 6+2−1C2=7C2=21 である。全事象は 62 通りなので，求める確率は 2162=712 である。

(2)
同様に，K3=5 となるのは 1≦a1≦a2≦a3≦6 のときである。このような列は，6種類から重複を許して3個を非減少に選ぶ個数に等しいから 6+3−1C3=8C3=56 通りである。全事象は 63 通りなので，確率は 5663=727 である。

(3)
三角不等式を繰り返し用いると Kn=∣1−a1∣+∣a1−a2∣+⋯+∣an−1−an∣+∣an−6∣≧∣1−6∣=5 である。したがって qn≧5 である。

一方，たとえば a1=a2=⋯=an=1 とすれば Kn=5 となるので，qn=5 である。

等号が成り立つ条件を考える。数直線上で 1 から 6 へ進む移動距離の合計が直線距離 5 に等しいためには，途中で逆向きに進まないことが必要十分である。つまり 1≦a1≦a2≦⋯≦an≦6 である。よって Kn=qn となるための必要十分条件は上の非減少条件である。

別解

別解（上昇量と下降量で数える）

方針

数直線上の各移動を右向きと左向きに分ける。右向き総量と左向き総量の差は常に5なので，総移動距離は 5+2× 左向き総量となる。

解答

数列の両端に a0=1，an+1=6 を加える。各移動の右向き総量を U，左向き総量を D とすると，始点と終点の差からU−D=6−1=5であり，移動距離の総和はKn=U+D=5+2D(*)となる。

(1)
K2=5 は (*) により D=0，すなわち a1≦a2 と同値である。各目 j の出現回数を mj とすれば，非減少列はm1+m2+⋯+m6=2,mj≧0の解と一対一に対応する。その個数は7C5=21なので，確率は2162=712.(2)
同様に K3=5 となる非減少列の個数はm1+⋯+m6=3の非負整数解の個数8C5=56である。したがって確率は5663=727.(3)
(*) より常に Kn≧5 であり，等号は D=0 のときに限る。よってqn=5.また D=0 は一度も左へ戻らないことだから，必要十分条件は1≦a1≦a2≦⋯≦an≦6である。

総評

絶対値和を数直線上の移動距離として読む確率問題。目安時間は12分。Kn の最小値は式を展開するより，三角不等式の等号条件で考えると一気に見える。確率計算では，非減少列を「重複を許して選ぶ」問題に変換し，7C2，8C3 を使う。等号条件は単なる十分条件ではなく，逆戻りがないことが必要でもある点を言葉で補うとよい。 三角不等式と下降量の2通りで最小値5と非減少条件が一致した。 三角不等式と下降量の2通りで最小値5と非減少条件が一致した。 三角不等式と下降量の2通りで最小値5と非減少条件が一致した。

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出典: 北海道大学 2023年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。