北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
$2^m\cdot 3^n$ の正の約数は，$$2^i{3}^j(0\leqq i\leqq m,0\leqq j\leqq n)$$ と一意的に表される。指数 $i$ の選び方は $m+1$ 通り，指数 $j$ の選び方は $n+1$ 通りであるから，正の約数の個数は $(m+1)(n+1)$ である。

(2)
まず $6912=2^8\cdot 3^3$ である。したがって，6912 の正の約数は $$2^i{3}^j(0\leqq i\leqq 8,0\leqq j\leqq 3)$$ と表される。

この約数が $12=2^2\cdot 3$ で割り切れる条件は $i\geqq 2\text{かつ}j\geqq 1$ である。よって，12で割り切れないものは，この否定として $$j=0\text{または}i=0,1$$ である。

重複を避けるため，まず $j=0$ のものをすべて足すと $$1+2+2^2+\cdots +2^8=2^9-1=511$$ である。次に $j=1,2,3$ で $i=0,1$ のものを足すと $$(1+2)(3+9+27)=3\cdot 39=117$$ である。したがって求める総和は $511+117=628$ である。

6912の全約数の総和を積の形で求め，そのうち $i\geqq 2,j\geqq 1$ を満たす12の倍数の総和を引く。補集合を積集合のまま扱えるため短い。

(1)
標準解法と同じく，指数 $i,j$ の選び方を数えて $(m+1)(n+1)$ 個である。

(2)
$6912=2^8\cdot 3^3$ より，全約数の総和は$$(1+2+\cdots +2^8)(1+3+9+27)=511\cdot 40.$$12で割り切れる約数は $2^i{3}^j$ のうち $2\leqq i\leqq 8$，$1\leqq j\leqq 3$ のものである。その総和は$$(2^2+2^3+\cdots +2^8)(3+9+27)=508\cdot 39.$$したがって求める総和は$$511\cdot 40-508\cdot 39=628$$である。