北海道大学 2024年度文系数学数学α 第1問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) 自然数 $m, n$ について， $2^{m} \cdot 3^{n}$ の正の約数の個数を求めよ。

(2) 6912の正の約数のうち，12で割り切れないものの総和を求めよ。

出典：北海道大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系数学α 第1問

方針

標準解法（指数条件の否定を重複なく分割）

(1) 正の約数を $2^{i} 3^{j}$ と一意に表して指数の組を数える。(2) $6912 = 2^{8} \cdot 3^{3}$ とし， $12 = 2^{2} \cdot 3$ で割り切れる条件 $i ≧ 2$ かつ $j ≧ 1$ を否定する。 $j = 0$ と， $j ≧ 1$ かつ $i = 0, 1$ に分ければ重複なく等比数列の和で計算できる。

別解（全約数の和から12の倍数を引く）

6912の全約数の総和を積の形で求め，そのうち $i ≧ 2, j ≧ 1$ を満たす12の倍数の総和を引く。補集合を積集合のまま扱えるため短い。

解答

標準解法（指数条件の否定を重複なく分割）

(1)

$2^{m} \cdot 3^{n}$ の正の約数は， $2^{i} 3^{j} (0 ≦ i ≦ m, 0 ≦ j ≦ n)$ と一意的に表される。指数 $i$ の選び方は $m + 1$ 通り，指数 $j$ の選び方は $n + 1$ 通りであるから，正の約数の個数は $(m + 1) (n + 1)$ である。

(2)

まず $6912 = 2^{8} \cdot 3^{3}$ である。したがって，6912 の正の約数は $2^{i} 3^{j} (0 ≦ i ≦ 8, 0 ≦ j ≦ 3)$ と表される。

この約数が $12 = 2^{2} \cdot 3$ で割り切れる条件は $i ≧ 2 かつ j ≧ 1$ である。よって，12で割り切れないものは，この否定として $j = 0 または i = 0, 1$ である。

重複を避けるため，まず $j = 0$ のものをすべて足すと $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{8} = 2^{9} - 1 = 511$ である。次に $j = 1, 2, 3$ で $i = 0, 1$ のものを足すと $(1 + 2) (3 + 9 + 27) = 3 \cdot 39 = 117$ である。したがって求める総和は $511 + 117 = 628$ である。

別解（全約数の和から12の倍数を引く）

(1)

標準解法と同じく，指数 $i, j$ の選び方を数えて $(m + 1) (n + 1)$ 個である。

(2)

$6912 = 2^{8} \cdot 3^{3}$ より，全約数の総和は

(1 + 2 + \dots + 2^{8}) (1 + 3 + 9 + 27) = 511 \cdot 40.

12で割り切れる約数は $2^{i} 3^{j}$ のうち $2 ≦ i ≦ 8$ ， $1 ≦ j ≦ 3$ のものである。その総和は

(2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{8}) (3 + 9 + 27) = 508 \cdot 39.

したがって求める総和は

511 \cdot 40 - 508 \cdot 39 = 628

である。

北海道大学 2024年度文系数学 数学α 第1問

問題

方針

標準解法（指数条件の否定を重複なく分割）

別解（全約数の和から12の倍数を引く）

解答

標準解法（指数条件の否定を重複なく分割）

(1)

(2)

別解（全約数の和から12の倍数を引く）

(1)

(2)

北海道大学 2024年度
文系数学数学α 第1問