北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$h(x)=-x^3+x^2$ とおく。微分すると $h^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+2x=x(2-3x)$ である。したがって，$h(x)$ は$$x<0\text{ で減少},0<x<\frac{2}{3}\text{ で増加},x>\frac{2}{3}\text{ で減少}$$する。また $$h(0)=0,h\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{27}$$ である。

水平線 $y=a$ と曲線 $C$ が共有点をちょうど2つもつのは，水平線が極値の点で接し，そのほかにもう1点で交わるときである。$a=0$ のときも $x=0$ で接するが，問題で $a\mathrm{\ne }0$ とされているため除外される。よって $a=\frac{4}{27}$ である。

(2)
共有点の $x$ 座標は $-x^3+x^2=\frac{4}{27}$ を満たす。両辺を移項して整理すると $27x^3-27x^2+4=0$ であり，これは $(3x-2{)}^2(3x+1)=0$ と因数分解できる。したがって，共有点の $x$ 座標は $-\frac{1}{3},\frac{2}{3}$ である。ただし $x=2\mathrm{/}3$ は接点なので重解である。

(3)
区間 $$-\frac{1}{3}\leqq x\leqq \frac{2}{3}$$ では，直線 $y=4\mathrm{/}27$ が曲線 $y=-x^3+x^2$ の上側にある。よって求める面積は$${\int }_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\{\frac{4}{27}-(-x^3+x^2)\}dx={\int }_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}(x^3-x^2+\frac{4}{27})dx$$である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}(x^3-x^2+\frac{4}{27})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{4x}{27}]}_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって，囲まれた図形の面積は $\frac{1}{12}$ である。

【共有点が二つになる位置関係】

$x=2\mathrm{/}3$ では水平線が接するため方程式の根は重根だが，共有点としては一つに数える。

共有点がちょうど二つなら三次方程式は重解をもつ。重解 $r$ は元の多項式と導関数を同時に0にするため，$r=0,2\mathrm{/}3$ に絞れる。$a\mathrm{\ne }0$ から後者を選ぶ。

(1)
共有点の $x$ 座標は$$-x^3+x^2-a=0$$の実根である。異なる共有点がちょうど二つなので，この三次方程式は重解 $r$ をもつ。したがって$$-r^3+r^2-a=0,-3r^2+2r=0.$$後式から $r=0$ または $r=2\mathrm{/}3$ である。$r=0$ なら $a=0$ となり条件に反する。よって$$a=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{27}\mathrm{.}$$(2)$$27x^3-27x^2+4=(3x-2{)}^2(3x+1)$$だから，異なる共有点の $x$ 座標は $2\mathrm{/}3,-1\mathrm{/}3$ である。

(3)
標準解法と同じ積分$${\int }_{-1\mathrm{/}3}^{2\mathrm{/}3}(x^3-x^2+\frac{4}{27})dx$$により，面積は $1\mathrm{/}12$ である。