問題
を0でない実数とする。をで表される曲線，をで表される直線とし，とは共有点をちょうど2つもつとする。
(1) の値を求めよ。
(2) との共有点の座標をすべて求めよ。
(3) とで囲まれた図形の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 数学α 第3問
方針
標準解法（増減表から接する水平線を特定）
の増減と極値を求め，水平線 との共有点が二つになる高さを読む。 は条件 で除かれるため 。共有点の方程式は重解を含めて因数分解し，直線が上側となる区間で差を積分する。
別解（重解条件から接点を代数的に決める）
共有点がちょうど二つなら三次方程式は重解をもつ。重解 は元の多項式と導関数を同時に0にするため， に絞れる。 から後者を選ぶ。
解答
標準解法（増減表から接する水平線を特定）
(1)
とおく。微分すると である。したがって， は
する。また である。
水平線 と曲線 が共有点をちょうど2つもつのは，水平線が極値の点で接し，そのほかにもう1点で交わるときである。 のときも で接するが，問題で とされているため除外される。よって である。
(2)
共有点の 座標は を満たす。両辺を移項して整理すると であり，これは と因数分解できる。したがって，共有点の 座標は である。ただし は接点なので重解である。
(3)
区間 では，直線 が曲線 の上側にある。よって求める面積は
である。計算すると
したがって，囲まれた図形の面積は である。
【共有点が二つになる位置関係】
では水平線が接するため方程式の根は重根だが，共有点としては一つに数える。
別解（重解条件から接点を代数的に決める）
(1)
共有点の 座標は
の実根である。異なる共有点がちょうど二つなので，この三次方程式は重解 をもつ。したがって
後式から または である。 なら となり条件に反する。よって
(2)
だから，異なる共有点の 座標は である。
(3)
標準解法と同じ積分
により，面積は である。