北大 2024年度文系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

1回の出目は0が5面，1・2・3が各1面である。(1) は $(0, 1), (1, 0)$ を重み付きで数える。(2) は10点以下の補集合を考える。4回の最大は12点なので，11点の $(2, 3, 3, 3)$ の並べ替えと12点の $(3, 3, 3, 3)$ だけを数えればよい。

1回の試行で，0が出る確率は $5 / 8$ ，1，2，3が出る確率はいずれも $1 / 8$ である。

(1)
2回の試行で持ち点が1になるには，出た数が $(0, 1), (1, 0)$ のどちらかでなければならない。したがって求める確率は $2 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{32}$ である。

(2)
4回の持ち点が10以下である確率を，余事象で数える。4回の持ち点の最大値は $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ であるから，10を超えるのは持ち点が11または12の場合だけである。

持ち点が12になるのは $(3, 3, 3, 3)$ の1通りである。持ち点が11になるには，3が3回，2が1回出る必要があるので， $(2, 3, 3, 3)$ の並べ替えであり，2の位置の選び方により4通りである。0や1が出ると合計を11以上にできないので，これで尽くされている。

全事象は $8^{4} = 4096$ 通りであり，10を超える場合は $1 + 4 = 5$ 通りである。よって，求める確率は $1 - \frac{5}{8^{4}} = \frac{4091}{4096}$ である。

別解（多項式の係数で余事象を数える）

1回の出目の重みを $5 + x + x^{2} + x^{3}$ で表す。4回の合計が11,12となる場合の数は，その4乗の該当係数として短く確認できる。

(1)
合計1となるのは $(0, 1), (1, 0)$ だから $2 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{32}$ である。

(2)
1回の出目の重み付き多項式は $5 + x + x^{2} + x^{3}$ である。4回の合計が $s$ となる場合の数は $(5 + x + x^{2} + x^{3})^{4}$ の $x^{s}$ の係数に等しい。

次数11を作るには $3 + 3 + 3 + 2$ のみで，2を置く場所が4通り。次数12を作るには $3 + 3 + 3 + 3$ の1通りだけである。したがって10点を超える場合は5通りで $1 - \frac{5}{8^{4}} = \frac{4091}{4096}$ を得る。

【公式出題意図・採点講評との対応】公式は，5面ある0を含む変則的なさいころの設定理解と余事象の利用を評価している。採点講評でも (2) は余事象が有効だったとしており，本解答は11点・12点だけに絞った。

難度4，計算量3，想定時間7分。0は値として1種類でも面として5通りあるため，(1) の各0には確率 $5 / 8$ が掛かる。一方，11点・12点では0が現れず，各並びはそのまま1通りである。

【独立検算】 $8^{4} = 4096$ 個の面列を全列挙し，10点超が5通り，10点以下が4091通りであることを確認した。

出典: 北海道大学令和6年度一般選抜（前期日程）数学α（公式問題・出題意図・採点講評）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。