問題
各面に1つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある。「1」，「2」，「3」が書かれた面がそれぞれ1つずつあり，残りの5つの面には「0」が書かれている。このさいころを水平な床面に投げて，出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える。最初の持ち点は0とし，この試行を繰り返す。例えば，3回の試行を行ったとき，出た面に書かれた数が「0」，「2」，「3」であれば，持ち点は5となる。なお，さいころが水平な床面にあるとき，さいころの上部の水平な面を出た面とよぶ。また，さいころを投げるとき，各面が出ることは同様に確からしいとする。
(1) この試行を2回行ったとき，持ち点が1である確率を求めよ。
(2) この試行を4回行ったとき，持ち点が10以下である確率を求めよ。
方針
標準解法（余事象で11点・12点だけを数える）
1回の出目は0が5面，1・2・3が各1面である。(1) は を重み付きで数える。(2) は10点以下の補集合を考える。4回の最大は12点なので，11点の の並べ替えと12点の だけを数えればよい。
別解（多項式の係数で余事象を数える）
1回の出目の重みを で表す。4回の合計が11,12となる場合の数は，その4乗の該当係数として短く確認できる。
解答
標準解法（余事象で11点・12点だけを数える）
1回の試行で，0が出る確率は ，1，2，3が出る確率はいずれも である。
(1)
2回の試行で持ち点が1になるには，出た数が のどちらかでなければならない。したがって求める確率は である。
(2)
4回の持ち点が10以下である確率を，余事象で数える。4回の持ち点の最大値は であるから，10を超えるのは持ち点が11または12の場合だけである。
持ち点が12になるのは の1通りである。持ち点が11になるには，3が3回，2が1回出る必要があるので， の並べ替えであり，2の位置の選び方により4通りである。0や1が出ると合計を11以上にできないので，これで尽くされている。
全事象は 通りであり，10を超える場合は 通りである。よって，求める確率は である。
別解（多項式の係数で余事象を数える）
(1)
合計1となるのは だから
である。
(2)
1回の出目の重み付き多項式は
である。4回の合計が となる場合の数は の の係数に等しい。
次数11を作るには のみで，2を置く場所が4通り。次数12を作るには の1通りだけである。したがって10点を超える場合は5通りで
を得る。