問題
関数について考える。のグラフをとおく。
(1) が極大値，極小値をとるようなをそれぞれ求め，の極大値，極小値を求めよ。
(2) 上の点を通り，に接する直線の方程式をすべて求めよ。
方針
解法1（接点を文字で置く標準法）
(1) は導関数を因数分解し，符号変化から極大・極小を判定する。値の代入まで行い，どの でどちらの極値をとるかを対応させる。(2) は接点の 座標を とおき，接線 が点 を通る条件を作る。与点自体が曲線上にあるため が重解として出ることに注意し，もう1つの接点も求めて直線の方程式に戻す。
解法2（傾きと重解条件）
(1) は導関数の符号表で極値を確認する。(2) は与点を通る直線を傾き で表し、曲線との交点方程式を因数分解する。接する条件を、既知の交点 が重解になる場合と、残る2次式が重解になる場合に分ける。
解答
解法1（接点を文字で置く標準法）
(1)
より である。したがって となるのは である。導関数の符号は， で正， で負， で正である。よって で極大， で極小となる。
値を計算すると であり， である。したがって である。
(2)
接点の 座標を とする。このとき接点は であり，その接線は である。この直線が点 を通るから が必要十分条件である。ここで であり， であるから
となる。したがって である。 のとき であり，接点は である。よって接線は すなわち である。 のとき である。この接線は を通るので すなわち である。曲線と2本の接線の位置関係は次の図のようになる。
よって求める直線は である。
解法2（傾きと重解条件）
(1)
であり、符号は の順に変わる。したがって で極大、 で極小となる。値を代入して
である。
(2)
点 を通る直線を
とおく。曲線 との共有点の 座標は
を満たす。与点は 上にあるので左辺は を因数にもち、実際
である。
直線が に接するのは、次のいずれかの場合である。
第一に、既知の根 が重解になる場合である。このための条件は
であり、 を得る。
第二に、2次式 が重解をもつ場合である。判別式を0とおくと
より である。したがって求める2直線は
である。前者は 、後者は で接するので、2本を重複なく得ている。