北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)=x^3-6x^2-15x+30$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $x=-1,x=5$ である。導関数の符号は，$x<-1$ で正，$-1<x<5$ で負，$5<x$ で正である。よって $x=-1$ で極大，$x=5$ で極小となる。

値を計算すると $f(-1)=-1-6+15+30=38$ であり，$f(5)=125-150-75+30=-70$ である。したがって $$x=-1\text{ で極大値 }38,x=5\text{ で極小値 }-70$$ である。

(2)
接点の $x$ 座標を $t$ とする。このとき接点は $(t,f(t))$ であり，その接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$ である。この直線が点 $(-3,-6)$ を通るから $-6=f^{\mathrm{\prime }}(t)(-3-t)+f(t)$ が必要十分条件である。ここで $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-12t-15$ であり，$f(t)=t^3-6t^2-15t+30$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle -6}& {\displaystyle =(3t^2-12t-15)(-3-t)+t^3-6t^2-15t+30}\\ {\displaystyle 0}& {\displaystyle =2t^3-3t^2-36t-81}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t+3{)}^2(2t-9)}\end{array}$$となる。したがって $t=-3,t=\frac{9}{2}$ である。 $t=-3$ のとき $f^{\mathrm{\prime }}(-3)=27+36-15=48$ であり，接点は $(-3,-6)$ である。よって接線は $y+6=48(x+3)$ すなわち $y=48x+138$ である。 $t=9\mathrm{/}2$ のとき $$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{9}{2}\right)=3\cdot \frac{81}{4}-54-15=-\frac{33}{4}$$ である。この接線は $(-3,-6)$ を通るので $$y+6=-\frac{33}{4}(x+3)$$ すなわち $$y=-\frac{33}{4}x-\frac{123}{4}$$ である。曲線と2本の接線の位置関係は次の図のようになる。

よって求める直線は $$y=48x+138,y=-\frac{33}{4}x-\frac{123}{4}$$ である。

(1) は導関数の符号表で極値を確認する。(2) は与点を通る直線を傾き $m$ で表し、曲線との交点方程式を因数分解する。接する条件を、既知の交点 $x=-3$ が重解になる場合と、残る2次式が重解になる場合に分ける。

(1)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+1)(x-5)$ であり、符号は $+,-,+$ の順に変わる。したがって $x=-1$ で極大、$x=5$ で極小となる。値を代入して$$x=-1\text{ で極大値 }38,x=5\text{ で極小値 }-70$$である。

(2)
点 $(-3,-6)$ を通る直線を$$y=m(x+3)-6$$とおく。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は$$f(x)-\{m(x+3)-6\}=0$$を満たす。与点は $C$ 上にあるので左辺は $x+3$ を因数にもち、実際$$f(x)-\{m(x+3)-6\}=(x+3)(x^2-9x+12-m)$$である。

直線が $C$ に接するのは、次のいずれかの場合である。

第一に、既知の根 $x=-3$ が重解になる場合である。このための条件は$$(-3{)}^2-9(-3)+12-m=0$$であり、$m=48$ を得る。

第二に、2次式 $x^2-9x+12-m$ が重解をもつ場合である。判別式を0とおくと$$(-9{)}^2-4(12-m)=33+4m=0$$より $$m=-\frac{33}{4}$$ である。したがって求める2直線は$$y=48x+138,y=-\frac{33}{4}x-\frac{123}{4}$$である。前者は $x=-3$、後者は $x=9\mathrm{/}2$ で接するので、2本を重複なく得ている。