北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
与えられた漸化式は $$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0$$ である。ここで $2n+3=(n+1)+(n+2)$ なので，左辺をまとめ直すと $$(n+1)(a_{n+2}-a_{n+1})-(n+2)(a_{n+1}-a_n)=0$$ である。したがって $$(n+1)(a_{n+2}-a_{n+1})=(n+2)(a_{n+1}-a_n)$$ となる。$b_n=a_{n+1}-a_n$ だから $(n+1)b_{n+1}=(n+2)b_n$ であり，$$b_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}{b}_n$$ が成り立つ。

(2)
まず $b_1=a_2-a_1=3-1=2$ である。(1)より $$b_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}{b}_n$$ だから，順に掛け合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =b_1\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdots \frac{n+1}{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot \frac{n+1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n+1}\end{array}$$である。したがって $a_{n+1}-a_n=n+1$ である。

よって $n\geqq 1$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\sum _{k=1}^{n-1}(k+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{(n-1)n}{2}+(n-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}}\end{array}$$である。したがって $$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$$ である。実際，$n=1,2$ で $1,3$ となり初期条件にも合う。

(3)
(2)より $$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$$ であるから $$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}$$ である。ここで $$\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$$ と部分分数分解できる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{225}\frac{1}{a_n}}& {\displaystyle =2\sum _{n=1}^{225}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-\frac{1}{226})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{450}{226}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{225}{113}}\end{array}$$である。