北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $2\leqq a<b<c\leqq 6$ なので，$c$ の値ごとに調べる。 $c=4$ のとき，候補は $(2,3,4)$ だけであり，$2+3>4$ を満たす。 $c=5$ のとき，候補は $(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)$ である。このうち $a+b>5$ を満たすのは $(2,4,5),(3,4,5)$ である。 $c=6$ のとき，候補は $(2,3,6),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)$ である。このうち $a+b>6$ を満たすのは $(2,5,6),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)$ である。したがって求める組は $(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)$ である。

(2) $a^2+b^2\geqq c^2$ を満たす組を調べる。候補を $c$ ごとに見ると，$$(2,3,4):2^2+3^2=13<16=4^2$$ である。$c=5$ では $$(2,3,5):13<25,(2,4,5):20<25,(3,4,5):25=25$$ である。$c=6$ では $$(2,3,6):13<36,(2,4,6):20<36,(2,5,6):29<36,$$ $$(3,4,6):25<36,(3,5,6):34<36,(4,5,6):41>36$$ である。したがって条件を満たす組は $(3,4,5),(4,5,6)$ である。

(3)
辺 $a,b,c$ はそれぞれ頂点 $A,B,C$ と向かい合う辺の長さである。したがって角 $C$ の向かい側の辺は長さ $c$ であり，余弦定理より $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \mathrm{\angle }ACB$$ である。よって $$\cos \mathrm{\angle }ACB=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$ である。 $(a,b,c)=(3,4,5)$ のとき $$\cos \mathrm{\angle }ACB=\frac{9+16-25}{2\cdot 3\cdot 4}=0$$ である。 $(a,b,c)=(4,5,6)$ のとき $$\cos \mathrm{\angle }ACB=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$ である。したがって $(3,4,5)\text{ のとき }0,(4,5,6)\text{ のとき }\frac{1}{8}$ である。