北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
条件 $f(nx)=\{f(x){\}}^n$ に $x=1$ を代入すると，すべての整数 $n$ について $f(n)=\{f(1){\}}^n=2^n$ である。したがって $f(n)\leqq 100$ は $2^n\leqq 100$ と同値である。ここで $$2^6=64\leqq 100,2^7=128>100$$ であるから，条件を満たす最大の整数は $6$ である。なお負の整数 $n$ では $2^n\leqq 100$ を満たすが，最大値を考えるので上の判定で十分である。

(2)
任意の実数 $x$ に対して，条件を $n=2$，実数 $x\mathrm{/}2$ に適用すると$$f(x)=f(2\cdot \frac{x}{2})={\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2$$である。$f(x)$ のとりうる値は0でない実数であるから，$f(x\mathrm{/}2)\mathrm{\ne }0$ である。したがってその平方は正であり，$f(x)>0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ。

(3) $0.25=1\mathrm{/}4$ である。条件を $x=1\mathrm{/}4$，$n=4$ に適用すると$$f(1)=f(4\cdot \frac{1}{4})={\left\{f\left(\frac{1}{4}\right)\right\}}^4$$である。$f(1)=2$ だから $${\left\{f\left(\frac{1}{4}\right)\right\}}^4=2$$ である。(2)より $f(1\mathrm{/}4)>0$ なので，正の4乗根をとって $$f(0.25)=f\left(\frac{1}{4}\right)=2^{1\mathrm{/}4}=\sqrt{\sqrt{2}}$$ である。

(4)
有理数 $a$ を $$a=\frac{p}{q}$$ と表す。ただし $p$ は整数，$q$ は自然数とする。条件を $x=a$，$n=q$ に適用すると $f(p)=f(qa)=\{f(a){\}}^q$ である。一方，(1) と同じく整数 $p$ について $f(p)=2^p$ である。したがって $\{f(a){\}}^q=2^p$ である。(2)より $f(a)>0$ なので，正の $q$ 乗根をとって $f(a)=2^{p\mathrm{/}q}=2^a$ である。よって $$f(a)=2^a(a\text{ は有理数})$$ である。

まず $n=0,-1,2$ を代入して $f(0)=1$、$f(-x)=1\mathrm{/}f(x)$、$f(x)>0$ をまとめる。その後、整数点と有理数点へ順に広げる。

(1)
$x=1$ とすれば、整数 $n$ に対して$$f(n)=f(n\cdot 1)=\{f(1){\}}^n=2^n$$である。$2^6=64\leqq 100<128=2^7$ より、最大の整数は $6$ である。

(2)
$n=0$ とすると、値域に0を含まないことから$$f(0)=\{f(x){\}}^0=1$$である。また $n=-1$ とすると$$f(-x)=\{f(x){\}}^{-1}=\frac{1}{f(x)}$$を得る。さらに $n=2$、変数を $x\mathrm{/}2$ とすれば$$f(x)={\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2>0$$である。最後の不等号は $f(x\mathrm{/}2)\mathrm{\ne }0$ による。

(3) $$2=f(1)=f(4\cdot \frac{1}{4})={\left\{f\left(\frac{1}{4}\right)\right\}}^4$$であり、(2) の正値性により$$f(0.25)=f\left(\frac{1}{4}\right)=2^{1\mathrm{/}4}=\sqrt{\sqrt{2}}$$である。

(4)
有理数 $a$ を $a=p\mathrm{/}q$（$p$ は整数、$q$ は自然数）と書く。すると$$\{f(a){\}}^q=f(qa)=f(p)=2^p$$である。(2) より $f(a)>0$ なので正の $q$ 乗根をとることができ、$$f(a)=2^{p\mathrm{/}q}=2^a$$を得る。表し方を変えても右辺は $2^a$ で一定なので、定義の曖昧さもない。