北海道大学 2025年度
文系数学 前期 第4問

解答

解法1（正値性を先に示す方法）

(1)

条件 $f(nx)=\{f(x){\}}^n$ に $x=1$ を代入すると，すべての整数 $n$ について $f(n)=\{f(1){\}}^n=2^n$ である。したがって $f(n)\leqq 100$ は $2^n\leqq 100$ と同値である。ここで $2^6=64\leqq 100,2^7=128>100$ であるから，条件を満たす最大の整数は $6$ である。なお負の整数 $n$ では $2^n\leqq 100$ を満たすが，最大値を考えるので上の判定で十分である。

(2)

任意の実数 $x$ に対して，条件を $n=2$，実数 $x/2$ に適用すると

である。$f(x)$ のとりうる値は0でない実数であるから，$f(x/2)\ne 0$ である。したがってその平方は正であり，$f(x)>0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ。

(3)

$0.25=1/4$ である。条件を $x=1/4$，$n=4$ に適用すると

である。$f(1)=2$ だから ${\left\{f\left(\frac{1}{4}\right)\right\}}^4=2$ である。(2)より $f(1/4)>0$ なので，正の4乗根をとって $f(0.25)=f\left(\frac{1}{4}\right)=2^{1/4}=\sqrt{\sqrt{2}}$ である。

(4)

有理数 $a$ を $a=\frac{p}{q}$ と表す。ただし $p$ は整数，$q$ は自然数とする。条件を $x=a$，$n=q$ に適用すると $f(p)=f(qa)=\{f(a){\}}^q$ である。一方，(1) と同じく整数 $p$ について $f(p)=2^p$ である。したがって $\{f(a){\}}^q=2^p$ である。(2)より $f(a)>0$ なので，正の $q$ 乗根をとって $f(a)=2^{p/q}=2^a$ である。よって $f(a)=2^a(a\text{ は有理数})$ である。

解法2（整数倍に関する基本性質の整理）

(1)

$x=1$ とすれば、整数 $n$ に対して

である。$2^6=64\leqq 100<128=2^7$ より、最大の整数は $6$ である。

(2)

$n=0$ とすると、値域に0を含まないことから

である。また $n=-1$ とすると

を得る。さらに $n=2$、変数を $x/2$ とすれば

である。最後の不等号は $f(x/2)\ne 0$ による。

(3)

であり、(2) の正値性により

である。

(4)

有理数 $a$ を $a=p/q$（$p$ は整数、$q$ は自然数）と書く。すると

である。(2) より $f(a)>0$ なので正の $q$ 乗根をとることができ、

を得る。表し方を変えても右辺は $2^a$ で一定なので、定義の曖昧さもない。