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熊本大学 2018年度 前期数学② 第1問

t を実数とする。空間の4点A(1,5,0),B(4,2,0),C(t,2t,t−1),D(1,6,1)について、∠BAC が直角であるとき、次の問いに答えよ。

(問1) t の値を求めよ。

(問2) 点 D から3点 A,B,C を通る平面に垂線を下ろし、その交点を H とする。HD→ を求めよ。

(問3) 四面体 ABCD の体積を求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安16分

ベクトル、図形と方程式　内積の利用、ベクトル成分計算、座標設定

方針

∠BAC=90∘ は AB→⋅AC→=0 で決める。t 決定後，平面 ABC の方程式を求め，点 D から平面への垂線ベクトルを法線方向の定数倍として求める。体積は底面積と高さから求める。

解答

(問1)AB→=(3,−3,0),AC→=(t−1,2t−5,t−1)である。∠BAC が直角であるからAB→⋅AC→=0である。よって3(t−1)−3(2t−5)=0よりt=4である。

(問2)
t=4 のときC=(4,8,3)である。平面 ABC の法線ベクトルとしてn⃗=(1,1,−2)をとれる。したがって平面 ABC の方程式はx+y−2z−6=0である。点 D(1,6,1) を代入すると1+6−2−6=−1である。∣n⃗∣2=6 より，垂線の足 H についてHD→=−16(1,1,−2)=(−16,−16,13)である。

(問3)
t=4 のときAC→=(3,3,3)であり，問1の条件より AB→⊥AC→ である。したがって底面 △ABC の面積は12⋅∣AB→∣⋅∣AC→∣=12⋅32⋅33=962である。また点 D から平面 ABC までの距離は∣1+6−2−6∣12+12+(−2)2=16である。よって四面体 ABCD の体積は13⋅962⋅16=32である。

別解

解法2

方針

平面 ABC の法線ベクトルを求め、点 D を通る法線を媒介変数表示して垂線の足 H を直接求める。高さと直角三角形 ABC の面積から体積を出す。

解答

(問1)AB→=(3,−3,0),AC→=(t−1,2t−5,t−1).直角条件からAB→⋅AC→=3(t−1)−3(2t−5)=0.よってt=4.(問2)

t=4 のときC=(4,8,3).n=(1,1,−2)は AB→ と AC→ の両方に垂直なので、平面 ABC の方程式はx+y−2z−6=0.点 D を通る法線上の点をD+λnと表す。この点が平面上にある条件は−1+6λ=0,したがってλ=16.よってH=D+16n=(76,376,23).したがってHD→=D−H=(−16,−16,13).(問3)∣AB→∣=32,∣AC→∣=33であり、両者は垂直である。したがって[ABC]=12⋅32⋅33=962.また高さは∣HD→∣=16.よって体積は13⋅962⋅16=32.

総評

難度5、計算量5。想定時間は16分程度。内積で t を定めた後、同じ法線ベクトルを垂線の足と高さの両方に使うと一貫して解ける。HD→ と DH→ の向きを座標差で最後に確認する。

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出典: 熊本大学 2018年度 前期 理系数学 第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。