熊本大学 2020年度 前期数学① 第4問

(1) $$D=(1-s,-1+s,1-s),E=(t-1,t,k+(1-k)t)$$である。$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{DE}=E-D$$ より$$P=(s+t-2,-s+t+1,s+(1-k)t+k-1)\mathrm{.}$$(2)

$s,t$ の係数ベクトルを$$\mathit{u}=(1,-1,1),\mathit{v}=(1,1,1-k)$$とおく。$0\leqq s,t\leqq 1$ だから、この2ベクトルが平行四辺形の隣り合う辺である。内積を計算すると$$\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=3,\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2=k^2-2k+3,\mathit{u}\cdot \mathit{v}=1-k\mathrm{.}$$よって平行四辺形の面積について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k{)}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2-(\mathit{u}\cdot \mathit{v}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(k^2-2k+3)-(1-k{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(k-1{)}^2+6.}\end{array}$$したがって$$k=1\text{ のとき }S(k)\text{ は最小},\min S(k)=\sqrt{6}\mathrm{.}$$(3)

$k=1$ のとき、底面の2方向は$$\mathit{u}=(1,-1,1),\mathit{v}=(1,1,0)$$である。法線ベクトルを $(a,b,c)$ とすると$$a-b+c=0,a+b=0$$を満たせばよいので、$(1,-1,-2)$ を取れる。$s=t=0$ に対応する底面上の点は $(-2,1,0)$ だから、底面の平面は$$x-y-2z=-3$$である。原点からこの平面へ下ろした垂線の足は$$H=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),OH=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{.}$$よって四角錐の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=1.$$

射影で一方の辺に垂直な成分を求めて面積を計算し、底面の2方向に垂直なベクトルから高さを求める。

(1)

点 $P$ は$$P=(-2,1,k-1)+s(1,-1,1)+t(1,1,1-k)=(s+t-2,-s+t+1,s+(1-k)t+k-1)\mathrm{.}$$(2)$$\mathit{u}=(1,-1,1),\mathit{v}=(1,1,1-k)$$ とおく。$\mathit{v}$ の $\mathit{u}$ に垂直な成分を高さと見れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k{)}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2\{\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2-\frac{(\mathit{u}\cdot \mathit{v}{)}^2}{\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(k^2-2k+3)-(1-k{)}^2=2(k-1{)}^2+6.}\end{array}$$ゆえに $k=1$ で最小値 $\sqrt{6}$ を取る。

(3)

$k=1$ のとき、底面の2辺に垂直な $(a,b,c)$ は$$a-b+c=0,a+b=0$$を満たすので、法線ベクトルを $(1,-1,-2)$ と取れる。底面は $(-2,1,0)$ を通るから、その平面と原点からの高さは$$x-y-2z=-3,h=\frac{3}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{.}$$したがって体積は$$\frac{1}{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=1.$$