熊本大学 2021年度 前期数学② 第1問

(問1)
直線上の点は$$\frac{2t}{3}\vec{a}+\frac{1-t}{3}\vec{b}+\frac{2-t}{3}\vec{c}$$で，係数和が $1$ だから平面 $\alpha$ 上にある。

(問2)
辺 $BC$ では $\vec{a}$ の係数が $0$ なので $t=0$，$$\overrightarrow{OX}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\mathrm{.}$$辺 $CA$ では $\vec{b}$ の係数が $0$ なので $t=1$，$$\overrightarrow{OX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}\mathrm{.}$$辺 $AB$ では $t=2$ となるが，$\vec{b}$ の係数が $-\frac{1}{3}$ となり辺上にない。よって個数は $BC$ が1個，$CA$ が1個，$AB$ が0個。

(問3)$$\overrightarrow{OE}=\vec{a}+\vec{b}$$。$F$ を直線 $OY$ と直線 $EC$ の交点として係数比較すると$$\lambda \frac{2t}{3}=1-\mu ,\lambda \frac{1-t}{3}=1-\mu ,\lambda \frac{2-t}{3}=\mu \mathrm{.}$$よって $t=\frac{1}{3}$，$\lambda =\frac{9}{7}$。したがって$$\overrightarrow{OF}=\frac{2}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}+\frac{5}{7}\vec{c}\mathrm{.}$$

直線 $l$ の基準点と方向から平面上にあることを示す。各辺との交点は係数を0にして求め、係数が負なら辺の延長上であると判定する。(問3)は $EC$ 上で $\vec{a},\vec{b}$ の係数が等しいことを利用する。

(問1)
$t=0$ の点は$$\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$$で辺 $BC$ 上にある。直線の方向ベクトルは$$\frac{1}{3}(2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})=\frac{1}{3}\{(\vec{a}-\vec{b})+(\vec{a}-\vec{c})\}$$であり、平面 $\alpha$ に平行である。よって $l\subset \alpha$ である。

(問2)
直線上の点は$$\frac{2t}{3}\vec{a}+\frac{1-t}{3}\vec{b}+\frac{2-t}{3}\vec{c}$$と表される。辺 $BC$ では $\vec{a}$ の係数が0なので $t=0$ となり$$\overrightarrow{OX}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$$である。辺 $CA$ では $\vec{b}$ の係数が0なので $t=1$ となり$$\overrightarrow{OX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}$$である。辺 $AB$ の直線とは $t=2$ で交わるが、このとき係数は$$\frac{4}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}$$であり、$\vec{b}$ の係数が負なので辺 $AB$ 上にはない。したがって交点の個数は $BC$ と $CA$ が各1個、$AB$ が0個である。

(問3)
$D$ は $AB$ の中点だから$$\overrightarrow{OE}=\vec{a}+\vec{b}$$である。直線 $EC$ 上では $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数が等しい。したがって、直線 $OY$ の方向でも両係数が等しくなり$$2t=1-t,t=\frac{1}{3}$$を得る。このとき方向の係数比は$$\vec{a}:\vec{b}:\vec{c}=2:2:5$$である。直線 $EC$ 上の点を $(1-s)(\vec{a}+\vec{b})+s\vec{c}$ と書けば$$\frac{s}{1-s}=\frac{5}{2},s=\frac{5}{7}$$である。よって$$\overrightarrow{OF}=\frac{2}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}+\frac{5}{7}\vec{c}$$となる。