熊本大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

半径 $1$ の円に外接する $△ A B C$ について， $∠ C A B = 2 x$ ， $∠ A B C = 2 y$ ， $∠ B C A = 2 z$ とする． $△ A B C$ の面積を $S$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(問1) $S = \frac{1}{t a n x} + \frac{1}{t a n y} + \frac{1}{t a n z}$ が成り立つことを示せ．

(問2) $z = \frac{π}{6}$ のとき， $S$ の最小値とそのときの $x$ ， $y$ を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期理系第1問

方針

解法1

内接円の半径が1であるから，面積 $S$ は半周長に等しい。各頂点から接点までの接線の長さを，角の半分と接円半径から $cot x$ ， $cot y$ ， $cot z$ と表す。(問2)では $x + y = π /3$ のもとで $cot x + cot y$ を最小化し， $sin x sin y$ が最大となる条件を用いる。

解法2

面積を内接円で3つの三角形に分割して半周長と結びつける。(問2)は $cot x$ の凸性に対する中点評価で最小化する。

解答

解法1

(問1)

内接円の中心を $I$ とし， $A B$ と内接円の接点を $P$ とする。半径が $1$ であるから，直角三角形 $A I P$ において

A P = \frac{1}{tan x}

である。同様に，各頂点から接点までの接線の長さは

\frac{1}{tan x}, \frac{1}{tan y}, \frac{1}{tan z}

である。

よって三角形の半周長は

\frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} + \frac{1}{tan z}

である。一方，内接円の半径が $1$ なので，面積は半周長に等しい。したがって

S = \frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} + \frac{1}{tan z}

である。

(問2)

$2 x + 2 y + 2 z = π$ であり， $z = \frac{π}{6}$ だから

x + y = \frac{π}{3}

である。(問1)より

S = \frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} + 3

である。また

\frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} = \frac{cos x}{sin x} + \frac{cos y}{sin y} = \frac{sin ( x + y )}{sin x sin y} = \frac{3 /2}{sin x sin y}

である。

ここで

sin x sin y = \frac{cos ( x - y ) - cos ( x + y )}{2} = \frac{cos ( x - y ) - 1/2}{2}

であるから， $x + y = \frac{π}{3}$ のもとで $sin x sin y$ は $x = y = \frac{π}{6}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。したがって

\frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} ≧ 23

であり，

S ≧ 33

である。等号は $x = y = \frac{π}{6}$ のとき成立する。よって最小値は

33

であり，そのとき

x = y = \frac{π}{6}

である。

解法2

(問1)

各頂点から内接円への接線長をそれぞれ $u, v, w$ とする。内接円の半径が $1$ なので

S = \frac{1}{2} {(u + v) + (v + w) + (w + u)} = u + v + w

である。

頂点 $A$ の角は $2 x$ である。角の二等分線と接点を含む直角三角形を見れば

u = cot x = \frac{1}{tan x}

であり，同様に $v = cot y, w = cot z$ である。よって

S = \frac{1}{tan x} + \frac{1}{tan y} + \frac{1}{tan z}

である。

(問2)

$z = π /6$ より

x + y = \frac{π}{3}

である。 $0 < u < π /2$ で

(cot u)^{''} = 2 cot u csc^{2} u > 0

だから， $cot u$ は下に凸である。したがって中点における凸性から

cot x + cot y ≧ 2 cot \frac{x + y}{2} = 2 cot \frac{π}{6} = 23

である。さらに $cot z = 3$ なので

S ≧ 33 .

等号は $x = y = π /6$ のとき成立する。

熊本大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2017年度
理系数学第1問