熊本大学 2021年度 前期数学① 第2問

(問1)
直線上の点を $\vec{p}$ とすると$$\vec{p}=\frac{2t}{3}\vec{a}+\frac{1-t}{3}\vec{b}+\frac{2-t}{3}\vec{c}$$であり，係数和は $1$ である。よって $l$ は平面 $\alpha$ 上にある。

(問2)
辺 $AC$ 上では $\vec{b}$ の係数が $0$ だから $t=1$。したがって$$\overrightarrow{OX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}\mathrm{.}$$(問3)$$\overrightarrow{OE}=\vec{a}+\vec{b}$$ である。$F\in OY$ かつ $F\in EC$ より$$\lambda (\frac{2t}{3}\vec{a}+\frac{1-t}{3}\vec{b}+\frac{2-t}{3}\vec{c})=(1-\mu )(\vec{a}+\vec{b})+\mu \vec{c}\mathrm{.}$$係数比較で $2t=1-t$ より $t=\frac{1}{3}$，さらに$$\frac{2\lambda }{9}=1-\mu ,\frac{5\lambda }{9}=\mu$$より $\lambda =\frac{9}{7}$。よって$$\overrightarrow{OF}=\frac{2}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}+\frac{5}{7}\vec{c}\mathrm{.}$$

直線上の基準点が辺 $BC$ 上にあり、方向ベクトルが平面 $\alpha$ に平行であることから(問1)を示す。(問3)は直線 $EC$ 上で $\vec{a},\vec{b}$ の係数が等しいことを先に使い、残りを係数比だけで決める。

(問1)
$t=0$ に対応する点 $U$ は$$\overrightarrow{OU}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$$であり、辺 $BC$ 上にある。また直線 $l$ の方向ベクトルは$$\frac{1}{3}(2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})=\frac{1}{3}\{(\vec{a}-\vec{b})+(\vec{a}-\vec{c})\}$$である。これは平面 $\alpha$ に平行な2つのベクトルの和である。よって、$l$ は平面 $\alpha$ 上にある。

(問2)
直線上の点の位置ベクトルを展開すると$$\frac{2t}{3}\vec{a}+\frac{1-t}{3}\vec{b}+\frac{2-t}{3}\vec{c}$$である。辺 $AC$ 上では $\vec{b}$ の係数が0なので $t=1$ であり$$\overrightarrow{OX}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}$$を得る。

(問3)
中点条件から$$\overrightarrow{OE}=\vec{a}+\vec{b}$$である。直線 $EC$ 上の点は、ある実数 $s$ を用いて$$(1-s)(\vec{a}+\vec{b})+s\vec{c}$$と表せる。したがって、直線 $EC$ 上では $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数が等しい。点 $F$ は直線 $OY$ 上にもあるので、$Y$ を与える直線 $l$ 上の点でも両係数が等しくなければならない。よって$$2t=1-t,t=\frac{1}{3}$$である。このとき $OY$ の方向の係数比は$$\vec{a}:\vec{b}:\vec{c}=2:2:5$$である。一方、直線 $EC$ 上では係数が $(1-s,1-s,s)$ だから$$\frac{s}{1-s}=\frac{5}{2},s=\frac{5}{7}$$となる。したがって$$\overrightarrow{OF}=\frac{2}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}+\frac{5}{7}\vec{c}$$である。