熊本大学 2018年度 前期数学③ 第1問

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(3,-3,0),\overrightarrow{AC}=(t-1,2t-5,t-1),\overrightarrow{BC}=(t-4,2t-2,t-1)$$である。

$\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$ のとき$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$$より $t=4$ である。$\mathrm{\angle }ABC={90}^{\circ }$ のとき$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$より $t=-2$ である。$\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$ のとき$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$$であり，計算すると$$3(2t-5)(t-1)=0$$となるから，$t=1,{\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。よって求める値は$$t=-2,1,\frac{5}{2},4$$である。

(問2)$$\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$$である。4点 $A,B,C,D$ が同一平面上にあるための条件は，ある実数 $r,s$ を用いて$$\overrightarrow{AD}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$$と表せることである。成分を比べると$$(0,1,1)=(3r+s(t-1),-3r+s(2t-5),s(t-1))$$である。$t=1$ のとき右辺の第3成分は $0$ となり不適である。よって $t\mathrm{\ne }1$ として，第3成分から$$s=\frac{1}{t-1}$$である。第1成分から $3r+1=0$，すなわち $r=-\frac{1}{3}$ である。第2成分を用いると$$1+\frac{2t-5}{t-1}=1$$となるから$$t=\frac{5}{2}$$である。

(問3)
$\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$ のとき，(問1)より $t=4$ である。このとき$$\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$$であり，$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$ であるから，底面 $\mathrm{△}ABC$ の面積は$$\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{6}}{2}$$である。また，平面 $ABC$ の方程式は$$x+y-2z-6=0$$であり，点 $D(1,6,1)$ からこの平面までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }1+6-2-6\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$である。したがって四面体 $ABCD$ の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{3}{2}$$である。

3辺の長さの二乗を求め、直角の位置ごとに三平方の定理を適用する。同一平面条件は平面 $ABD$ の法線ベクトルで判定し、体積にも同じ法線を利用する。

(問1)

3辺の長さの二乗は$$A{B}^2=18,$$$$A{C}^2=6t^2-24t+27,B{C}^2=6t^2-18t+21.$$$A$ が直角のとき$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$より $t=4$ である。

$B$ が直角のとき$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$より $t=-2$ である。

$C$ が直角のとき$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$より$$2t^2-7t+5=0,$$したがって$$t=1,\frac{5}{2}\mathrm{.}$$以上より$$t=-2,1,\frac{5}{2},4.$$(問2)$$\overrightarrow{AB}=(3,-3,0),\overrightarrow{AD}=(0,1,1)\mathrm{.}$$ベクトル$$\mathit{n}=(1,1,-1)$$はこの両方に垂直である。したがって4点が同一平面上にあるための必要十分条件は$$\mathit{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0.$$よって$$(t-1)+(2t-5)-(t-1)=0,$$すなわち$$t=\frac{5}{2}\mathrm{.}$$(問3)

$\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$ のとき $t=4$ である。$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=3\sqrt{2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=3\sqrt{3}$$より$$[ABC]=\frac{9\sqrt{6}}{2}\mathrm{.}$$このとき平面 $ABC$ の法線は $(1,1,-2)$ で、方程式は$$x+y-2z-6=0.$$点 $D$ からの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }1+6-2-6\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$よって四面体の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$