熊本大学 2018年度 前期数学③ 第2問

(問1)
$R_{(1,1)}$ から $R_{(3,4)}$ へ移るには，$x$ 軸方向に2回，$y$ 軸方向に3回進めばよい。よって求める確率は$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{5}{16}$$である。

(問2)
2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回が同じ方向である場合，すなわち $XX$ または $YY$ の場合である。$XX$ の後に $R_{(3,4)}$ に着くには残りが $YYY$ の1通りである。$YY$ の後に $R_{(3,4)}$ に着くには，残り3回のうち $X$ が2回，$Y$ が1回であればよいので3通りである。

条件のもとで残り3回は全部で $2\cdot 2^3$ 通りであるから，求める条件付き確率は$$\frac{1+3}{2\cdot 2^3}=\frac{1}{4}$$である。

(問3)
初めの上面は $1$ である。5回の移動後までに6通りの目がすべて上に現れるためには，5回の移動による上面が互いに異なり，かついずれも初めの $1$ と異なればよい。表を $X$，裏を $Y$ として上面を追うと，条件を満たす列は$$YYXYY,XYYXY,YXYXY,XYXXY,YXXXY,XYYYX,YXYYX,XYXYX,YXXYX,XXYXX$$の10通りである。したがって求める確率は$$\frac{10}{2^5}=\frac{5}{16}$$である。

問3では最初の3回の並びを分類する。最初が $X$ の場合を3型に分け、残り2回を姿勢図で判定し、$X$ と $Y$ の対称性で全体を数える。

(問1)

目標位置には $X$ を2回、$Y$ を3回出せばよいから$$\frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{5}{16}\mathrm{.}$$(問2)

2回後に $6$ が上にあるのは$$XX,YY$$の2通りである。$XX$ の後は $YYY$ の1通り、$YY$ の後は $X$ が2回、$Y$ が1回の3通りが目標位置に着く。したがって$$\frac{1+3}{2\cdot 2^3}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(問3)

6種類の面を初期状態を含む6回の観察ですべて上に出すには、最初の3回までに $X,Y$ が少なくとも1回ずつ現れる必要がある。

最初の1回が $X$ の場合、最初の3回を分類すると次の表になる。$$\begin{array}{ccc}\text{最初の3回}& \text{残り2回}& \text{完成する列}\\ XXY& XX& XXYXX\\ XYX& XY,YX& XYXXY,XYXYX\\ XYY& XY,YX& XYYXY,XYYYX\end{array}$$したがって、最初が $X$ の列は5通りである。$X$ と $Y$ を交換する対称性により、最初が $Y$ の列も5通りである。合計10通りなので$$\frac{10}{2^5}=\frac{5}{16}\mathrm{.}$$実際、残りの5列は$$YYXYY,YXYXY,YXXYX,YXYYX,YXXXY$$であり、重複はない。