熊本大学 2019年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ がある．

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2}{a _{n}} + 1 (n = 1, 2, 3, \dots) .

以下の問いに答えよ．

(問1) 自然数 $n$ に対して $a_{n} \neq = 2$ を示せ．

(問2)

b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 2} + 1

とおくとき，数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(問3) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(問4)

a_{n} > \frac{5}{2}

を満たす自然数 $n$ を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文理共通第1問

方針

解法1

まず $a_{n} = 2$ が一度でも起こると前の項も $2$ になることを利用し，初項に戻して矛盾を出す。次に与えられた $b_{n}$ への変換で一次の等比数列 $b_{n + 1} = - 2 b_{n}$ を作り，そこから $a_{n}$ を戻す。最後は $(- 2)^{n}$ の符号と大きさで不等式を判定する。

解法2

漸化式の二つの不動点 $2, - 1$ を使い、比 $(a_{n} - 2) / (a_{n} + 1)$ を置く。この比は公比 $- 1/2$ の等比数列になり、与えられた $b_{n}$ はその逆数として直ちに求まる。

解答

解法1

(問1)

もしある自然数 $n$ について $a_{n + 1} = 2$ ならば

\frac{2}{a _{n}} + 1 = 2

より $a_{n} = 2$ である。したがって，ある項が $2$ ならば前の項も $2$ であり，これを繰り返すと $a_{1} = 2$ となる。しかし $a_{1} = 1$ であるから矛盾する。よってすべての自然数 $n$ について $a_{n} \neq = 2$ である。

(問2)

(問1)より $b_{n}$ は定義される。漸化式から

a_{n + 1} - 2 = \frac{2}{a _{n}} - 1 = - \frac{a _{n} - 2}{a _{n}}

であるから

b_{n + 1} = \frac{3}{a _{n + 1} - 2} + 1 = - \frac{3 a _{n}}{a _{n} - 2} + 1

となる。また $b_{n} - 1 = \frac{3}{a _{n} - 2}$ より

a_{n} = 2 + \frac{3}{b _{n} - 1} = \frac{2 b _{n} + 1}{b _{n} - 1}

である。これを代入すると

b_{n + 1} = - (2 b_{n} + 1) + 1 = - 2 b_{n}

を得る。さらに

b_{1} = \frac{3}{1 - 2} + 1 = - 2

であるから

b_{n} = (- 2)^{n}

である。

(問3)

$b_{n} - 1 = \frac{3}{a _{n} - 2}$ より

a_{n} = 2 + \frac{3}{b _{n} - 1} = 2 + \frac{3}{( - 2 ) ^{n} - 1} = \frac{2 ( - 2 ) ^{n} + 1}{( - 2 ) ^{n} - 1}

である。

(問4)

(問3)より

a_{n} = 2 + \frac{3}{( - 2 ) ^{n} - 1}

である。 $n$ が奇数のとき $(- 2)^{n} - 1 < 0$ であるから $a_{n} < 2$ となり，条件を満たさない。 $n$ が偶数のときは

2 + \frac{3}{2 ^{n} - 1} > \frac{5}{2}

であり，これは

6 > 2^{n} - 1

すなわち $2^{n} < 7$ と同値である。偶数の自然数でこれを満たすのは $n = 2$ のみである。

解法2

漸化式の右辺を $T (x) = (x + 2) / x$ と見ると、 $T (x) = x$ の解は $2, - 1$ である。そこで

u_{n} = \frac{a _{n} - 2}{a _{n} + 1}

とおく。実際、

u_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} - 2}{a _{n + 1} + 1} = \frac{- ( a _{n} - 2 ) / a _{n}}{2 ( a _{n} + 1 ) / a _{n}} = - \frac{1}{2} u_{n} .

また $u_{1} = - 1/2$ だから

u_{n} = (- \frac{1}{2})^{n} . (1)

(問1)

(1)の右辺は0でない。したがって $a_{n} - 2 \neq = 0$ 、すなわちすべての自然数 $n$ で $a_{n} \neq = 2$ である。

(問2)

$u_{n} = (a_{n} - 2) / (a_{n} + 1)$ から

a_{n} - 2 = \frac{3 u _{n}}{1 - u _{n}}

である。よって

b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 2} + 1 = \frac{1 - u _{n}}{u _{n}} + 1 = \frac{1}{u _{n}} = (- 2)^{n} .

(問3)

(1)を $a_{n}$ について解けば

a_{n} = \frac{2 + ( - 1/2 ) ^{n}}{1 - ( - 1/2 ) ^{n}} = \frac{2 ( - 2 ) ^{n} + 1}{( - 2 ) ^{n} - 1} .

(問4)

$n$ が奇数なら $a_{n} < 2$ なので不適である。 $n$ が偶数なら

a_{n} = 2 + \frac{3}{2 ^{n} - 1} > \frac{5}{2} ⟺ 2^{n} < 7.

これを満たす偶数の自然数は $n = 2$ だけである。

熊本大学 2019年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2019年度
文理共通数学第1問